Батагайский провал

В Якутии есть Батагайский провал — гигантский разлом в земле, который год за годом расширяется без всякой внешней силы, будто грызёт сам себя. Чтобы понять, как такое возможно, надо знать, на чём держится здешний грунт.

Тысячелетиями почву Якутии скрепляла вечная мерзлота: лёд работает в ней как строительный цемент, намертво склеивая частицы. Пока температура ниже нуля, система устойчива — стоит и не двигается. Но стоит мерзлоте подтаять, как цемент исчезает: лёд занимал в грунте место, он растаял — грунт проседает, теряет прочность, склон осыпается, обнажая новый лёд. А дальше начинается самое интересное — провал сам себя разгоняет.

В провале борются две силы. Первая — разгон: чем больше уже оттаяло, тем больше обнажённой поверхности подставлено солнцу и теплу, а значит, тем быстрее тает дальше. Это положительная обратная связь, и в начале она раздувает провал всё стремительнее. Но есть и вторая сила — торможение: запас льда конечен. Чем шире провал, тем меньше нетронутого льда осталось по краям, и тем медленнее он может расширяться.

Две силы вместе дают знаменитое уравнение роста с насыщением:

$$ \frac{dX}{dt} = k\,X\left(1 - \frac{X}{L}\right) $$

модель

То есть скорость роста — это произведение двух множителей: «сколько провала уже есть» и «сколько ещё осталось до предела». Пока провал мал, работает первый и рост разгоняется; у предела второй обращается в ноль и рост останавливается.

где $X$ — размер провала, $k$ — скорость разгона, $L$ — предел (сколько вообще есть льда). Его решение — S-образная (логистическая) кривая: сначала медленный старт, потом бурный разгон, перегиб — и выход на плато, когда расти уже почти некуда¹.

Где работает тот же закон?

Та же $\,dX/dt = kX(1 - X/L)\,$ описывает кучу совсем разных вещей: так растёт колония бактерий в чашке (пока есть еда), так вспыхивает и затухает эпидемия (пока есть кого заражать), так набирает аудиторию новый продукт (пока есть новые пользователи). Всё, что само себя усиливает, но упирается в ограниченный ресурс, рано или поздно выходит на потолок по S-кривой.

Откуда берётся разгон и почему провал не растёт бесконечно Логистическое уравнение здесь не подогнано задним числом — оба его слагаемых имеют физический смысл, и их стоит разобрать порознь.

Разгон. Обнажённая стенка провала получает солнце и тепло воздуха, лёд в ней тает, грунт обрушивается, обнажая новую стенку. Чем длиннее фронт обрушения, тем больше площадь, ловящая тепло, — значит прирост пропорционален уже достигнутому размеру. Это и есть член $kX$: рост, кормящий сам себя.

Торможение. Расти вечно провал не может по двум причинам сразу. Осыпавшийся грунт скапливается у подножия стенки и экранирует мерзлоту от тепла — обрушение готовит себе теплоизоляцию. А сверху фронт упирается в границы залежи льдистых пород: там, где кончается ледовый комплекс, обрушаться нечему. Оба ограничения дают множитель $(1 - X/L)$, обнуляющий прирост при подходе к пределу $L$.

$$ \frac{dX}{dt} = k\,X\left(1 - \frac{X}{L}\right) $$

модель

Словами: скорость роста равна произведению «сколько уже есть» на «сколько ещё осталось». Пока провал мал, второй множитель близок к единице и рост почти экспоненциальный; у предела он гасит всё.

Числа Батагайки

Провал начался в 1960-е с просеки, лишившей склон растительного покрова, — то есть с рукотворного нарушения теплоизоляции. Сегодня это около километра в длину, до 800 метров в ширину и порядка 60–90 метров глубины — крупнейший термокарстовый провал в мире. Стенки отступают со скоростью порядка 10–15 метров в год, а в тёплые годы вдвое быстрее.

Обнажённая толща оказалась научным подарком: в стенке вскрыты слои возрастом до 650 тысяч лет — древнейшая мерзлота Северного полушария из доступных для прямого изучения. Из неё достают пыльцу, кости мамонтов и бизонов, ДНК растений — летопись, которую иначе пришлось бы добывать бурением.

Что предполагается 1. Условия на границе считаются постоянными: средняя летняя температура и осадки не меняются за время роста. При потеплении $k$ растёт, и кривая перестраивается на ходу. 2. Залежь льдистых пород однородна — на деле в ней есть прослои песка и гравия, на которых обрушение притормаживает. 3. Мера размера $X$ — одна величина. Реальный провал растёт неодинаково по разным направлениям: вниз по склону быстро, вверх по нему медленнее.

Где логистика перестаёт описывать происходящее — Скачки вместо плавной кривой. Крупные обвалы происходят разово, после жарких недель или ливней, — на графике это ступени, а не гладкая S-образная линия. Уравнение описывает среднюю тенденцию, но не отдельное событие, а планировать защиту приходится как раз по событиям. — Талые воды уносят материал. Если ручей вымывает обрушившийся грунт из подножия, экран не образуется и торможение не включается. Тогда провал ведёт себя как растущий безостановочно — до полного исчерпания залежи. — Обратная связь через климат. Оттаявшая органика разлагается, выделяя метан и углекислый газ. В масштабе одного провала этим можно пренебречь, в масштабе всей Арктики — уже нет, и там модель с фиксированным $k$ неприменима.

О чём спорят Насколько Батагайка — предвестник массового процесса, оценивают по-разному. Одни исследователи считают её редким совпадением: конкретная просека на конкретной льдистой толще. Другие видят типовой сценарий и указывают на рост числа термокарстовых провалов по всей Восточной Сибири. От этого зависит и оценка выброса углерода из мерзлоты, разброс которой к 2100 году составляет несколько раз.

Проверяемый вопрос Стенка отступает на 12 метров в год, а до края льдистой залежи в этом направлении осталось 400 метров. Через сколько лет рост в эту сторону прекратится — и почему логистическая кривая даст ответ больше простого деления?