Почему промоина и балка выглядят одинаково?

Посмотрите через рамку на склон. Маленькая промоина сбоку по форме похожа на большую ветвь балки — только уменьшенную. Уберите мысленно траву, кусты и крыши вдалеке, оставьте один контур — и ответ будет «нет»: по одной форме уже не понять, метровая это промоина или стометровая балка. Масштаба у формы нет.

1. увеличьте отвершек — и не отличите от всей балки
2. вся балка — сотни метров
3. малый отвершек под лупой — метры

Сетка на рамке как раз и ловит эту похожесть. Крупная ячейка накрывает большие ветви рельефа, мелкая — маленькие отвершки, а контуры в обоих случаях выходят узнаваемо одинаковыми. И вот осязаемое число прямо у рамки: уменьшите ячейку вдвое — задетых контуром клеток станет почти втрое больше. Не вдвое, как было бы у простой линии, и не вчетверо, как у закрашенного пятна. Форма живёт где-то посередине между линией и плоскостью.

Откуда берётся это сходство

Любой овраг начинается одинаково. Струйка воды находит понижение, промывает в нём русло, русло собирает следующие струйки, углубляется и ветвится. Тот же самый процесс, но в сто раз крупнее, создаёт большую балку. Когда один механизм работает и на сантиметрах, и на сотнях метров, форма получается похожей на всех масштабах. Это свойство называют самоподобием¹: овраги наследуют форму у того процесса, которым сделаны.

То же видно у речной сети, кроны дерева, разряда молнии, прожилок в листе — всюду одно локальное правило повторяется много раз и порождает узнаваемый ветвящийся узор. Один принцип — разные явления.

Важная оговорка. Самоподобие здесь работает не до бесконечности. Мельче комка земли — уже не овраги, а просто грунт. Крупнее самой балки — уже другой тип рельефа. У природных «фракталов» всегда есть верхняя и нижняя граница.

Попробуйте: наведите рамку на крупную ветвь балки, потом — на маленький отвершек ближе к себе. Сравните, какие ячейки сетки лучше ловят контур в каждом случае.

Та сетка на рамке перед вами — это и есть прибор. Накрываете контур оврага клетками и считаете, сколько клеток он задевает. Берёте сетку мельче — число задетых клеток растёт. Весь вопрос в том, насколько быстро оно растёт. Обозначим размер клетки $\varepsilon$, а число задетых клеток — $N(\varepsilon)$. Связь между ними оказывается степенной:

$$ N(\varepsilon) \sim \varepsilon^{-D}, \qquad D = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln (1/\varepsilon)} $$

оценка порядка

Показатель $D$ и называют фрактальной размерностью¹ — это попросту наклон прямой, если отложить $\ln N$ против $\ln(1/\varepsilon)$. У ровной гладкой линии $D = 1$: измельчили клетку вдвое — задетых стало вдвое больше. У закрашенного пятна $D = 2$: вдвое мельче клетка — вчетверо больше клеток. Овражный контур попадает между ними.

Подставим то самое число от рамки. На рисунке крупная сетка задевает $N_1 = 11$ клеток, а вдвое мельче — уже $N_2 = 30$: при уменьшении клетки вдвое их стало почти втрое больше. Тогда

$$ D = \log_2 \frac{30}{11} \approx 1{,}45. $$

оценка порядка

Вот и весь метод: одно измерение клеткой, одно деление логарифмов — и у формы без масштаба появляется честное число. Это грубая прикидка по двум шагам сетки — точное измерение по многим масштабам её уточняет (об этом на следующем уровне), — но и двух клеток хватает, чтобы увидеть главное: $D$ заметно больше единицы, и форма уже не линия.

Кто открыл. Что длина береговой линии зависит от линейки, заметил метеоролог Льюис Ричардсон в 1950-х, сравнивая длину испано-португальской границы по справочникам двух стран, — цифры расходились на треть. Бенуа Мандельброт в 1967 году показал в статье «Какова длина побережья Британии?», что расхождение подчиняется степенному закону, и в 1975-м дал явлению имя — фрактал. А что овражная и речная сеть самоподобна, знали гидрологи до слова: Роберт Хортон в 1945 году вывел законы, по которым число, длина и площадь притоков каждого порядка растут в постоянное число раз от порядка к порядку, — это и есть фрактальность, записанная без фракталов¹.

Сколько это в числах Рамка на стенде — простейший измеритель фрактальной размерности. Метод клеточного покрытия: накладываем сетку с ячейкой $r$, считаем число ячеек $N(r)$, куда попал объект, повторяем при других $r$ и строим зависимость в логарифмических осях. Наклон прямой и есть размерность: $N(r) \sim r^{-D}$. Словами: во сколько раз растёт число занятых клеток, когда клетки мельчают.

Практический пример на местности: контур лужи, обмеренный рамкой со стороной 20 сантиметров, даст одно число клеток, со стороной 5 сантиметров — примерно в $4^{D}$ раз больше. Для типичной береговой линии с $D \approx 1{,}25$ это множитель 5,7, а не 4, как было бы у гладкой кривой. Разница между 4 и 5,7 — и есть та самая изрезанность, которую глаз замечает, а линейка нет.

Границы измерения рамкой

• Диапазон масштабов должен быть не меньше двух порядков. Меньше — и прямая в логарифмических осях проводится через три точки, а через три точки можно провести что угодно. Именно поэтому опубликованные размерности природных объектов часто расходятся: у авторов разные диапазоны.
• Края объекта портят статистику. Ячейки, частично выходящие за границу изучаемого участка, считаются наравне с внутренними и завышают $N(r)$. На малых выборках это заметно.
• Размерность зависит от того, что считать объектом. Контур кроны, силуэт кроны с просветами и проекция всех ветвей дадут три разных числа для одного дерева.
• Метод не проверяет самоподобия. Он выдаёт число для любой картинки, включая совершенно не фрактальную. Прежде чем интерпретировать $D$, нужно убедиться, что зависимость в логарифмических осях действительно прямая, а не плавно изогнутая.

Что стоит попробовать на стенде Обмерьте одной рамкой два контура — ровный край асфальта и край мохового пятна на камне. У первого число занятых клеток при уменьшении ячейки вдвое вырастет примерно вдвое, у второго — заметно сильнее. Само это различие в поведении и есть измерение: фрактальная размерность не свойство картинки, а свойство того, как картинка отвечает на смену масштаба.

Открытый вопрос Почему фрактальные характеристики речных систем столь устойчивы независимо от климата, состава почв и прочих условий? Вероятно, причина кроется в общих закономерностях процессов эрозии и осадконакопления, однако точные механизмы ещё предстоит изучить².

Лекция по теме Александр Гасников, «Фракталы» — как измеряют фрактальную размерность и почему длина берега зависит от линейки.