Фрактальная рамка

Посмотри через рамку на склон. Маленькая промоина сбоку по форме похожа на большую ветвь балки — только уменьшенную. Убери мысленно траву, кусты и крыши вдалеке, оставь один контур — и ответ будет «нет»: по одной форме уже не понять, метровая это промоина или стометровая балка. Масштаба у формы нет.

Сетка на рамке как раз и ловит эту похожесть. Крупная ячейка накрывает большие ветви рельефа, мелкая — маленькие отвершки, а контуры в обоих случаях выходят узнаваемо одинаковыми. И вот осязаемое число прямо у рамки: уменьши ячейку вдвое — задетых контуром клеток станет почти втрое больше. Не вдвое, как было бы у простой линии, и не вчетверо, как у закрашенного пятна. Форма живёт где-то посередине между линией и плоскостью.

Откуда берётся это сходство

Любой овраг начинается одинаково. Струйка воды находит понижение, промывает в нём русло, русло собирает следующие струйки, углубляется и ветвится. Тот же самый процесс, но в сто раз крупнее, создаёт большую балку. Когда один механизм работает и на сантиметрах, и на сотнях метров, форма получается похожей на всех масштабах. Это свойство называют самоподобием¹: овраги наследуют форму у того процесса, которым сделаны.

То же видно у речной сети, кроны дерева, разряда молнии, прожилок в листе — всюду одно локальное правило повторяется много раз и порождает узнаваемый ветвящийся узор. Один принцип — разные явления.

Важная оговорка. Самоподобие здесь работает не до бесконечности. Мельче комка земли — уже не овраги, а просто грунт. Крупнее самой балки — уже другой тип рельефа. У природных «фракталов» всегда есть верхняя и нижняя граница.

Попробуй: наведи рамку на крупную ветвь балки, потом — на маленький отвершек ближе к себе. Сравни, какие ячейки сетки лучше ловят контур в каждом случае.

Та сетка на рамке перед тобой — это и есть прибор. Накрываешь контур оврага клетками и считаешь, сколько клеток он задевает. Берёшь сетку мельче — число задетых клеток растёт. Весь вопрос в том, насколько быстро оно растёт. Обозначим размер клетки $\varepsilon$, а число задетых клеток — $N(\varepsilon)$. Связь между ними оказывается степенной:

$$ N(\varepsilon) \sim \varepsilon^{-D}, \qquad D = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln (1/\varepsilon)} $$

Показатель $D$ и называют фрактальной размерностью¹ — это попросту наклон прямой, если отложить $\ln N$ против $\ln(1/\varepsilon)$. У ровной гладкой линии $D = 1$: измельчили клетку вдвое — задетых стало вдвое больше. У закрашенного пятна $D = 2$: вдвое мельче клетка — вчетверо больше клеток. Овражный контур попадает между ними.

Подставим то самое число от рамки. На рисунке крупная сетка задевает $N_1 = 11$ клеток, а вдвое мельче — уже $N_2 = 30$: при уменьшении клетки вдвое их стало почти втрое больше. Тогда

$$ D = \log_2 \frac{30}{11} \approx 1{,}45. $$

Вот и весь метод: одно измерение клеткой, одно деление логарифмов — и у формы без масштаба появляется честное число. Это грубая прикидка по двум шагам сетки — точное измерение по многим масштабам её уточняет (об этом на следующем уровне), — но и двух клеток хватает, чтобы увидеть главное: $D$ заметно больше единицы, и форма уже не линия.

Сетка на рамке перед тобой — это box-counting вручную: каждая клетка либо задевает овраг, либо нет, а ты их пересчитываешь. Полученные у рамки $\approx 1{,}45$ — это грубая оценка: двух шагов сетки мало, и она занижает результат. Чтобы получить надёжное число, сетку измельчают многократно и берут наклон по многим точкам. Тогда важно не спутать две разные величины. Если мерить так извилистость одного русла — одной нитки, что вьётся по дну, — выходит размерность чуть больше единицы, около $1{,}1$: линия лишь слегка петляет, оставаясь линией. Но рамка ловит не одну нитку, а всю ветвящуюся сеть промоин и отвершков разом, и у целой сети размерность заметно выше — обычно около $1{,}6$–$1{,}8$, а у самых густых сетей подбирается под $2$¹. Чем плотнее ветвление заполняет склон, тем ближе форма к плоскости.

Поэтому фрактальная размерность — это обобщение привычного счёта измерений: не всякая природная форма укладывается в целые $1$, $2$, $3$. И у оценки есть жёсткая граница: она имеет смысл только там, где работает один и тот же механизм размывания. Выше и ниже этого диапазона степенной закон ломается — красивая ветвящаяся форма сама по себе ещё не делает объект строгим фракталом.

Как это считают по карте. Учёные делают ровно то же, что ты с рамкой, только не на глаз. Рельеф снимают с воздуха или со спутника и переводят в цифровую модель высот — DEM. По перепадам высот алгоритм восстанавливает линии стока и всю овражную сеть. Дальше на неё накладывают квадратные сетки разного шага, считают задетые клетки и строят зависимость в логарифмических координатах: наклон получившейся прямой и есть оценка размерности.

Открытый вопрос. Фрактальная размерность речных сетей у рек по всему миру оказалась на удивление близкой — при том что климат, порода и уклон у них совсем разные². Выходит, форму задаёт сам механизм эрозии, а не местные условия. Но почему именно такое значение, а не другое, до сих пор обсуждается.

Поищи глазами тот же узор: изломы береговой линии, веер речной дельты, крона дерева, разряд молнии, прожилки листа.