Дерево, лёгкое, река — одна и та же форма. Посмотрите на крону ближайшего дерева. Ствол делится на крупные ветви, те — на средние, те — на мелкие, мелкие — на веточки с листьями. Та же схема лежит в основании ваших лёгких и у разветвлений реки на дельту.
Ветвление устроено так, что каждая часть похожа на целое. Такая структура называется фракталом.
Что сделать. Посмотрите на дерево рядом со стендом и посчитайте, сколько уровней ветвления до самых тонких веточек. У большинства деревьев получается 7–10.
Лёгкие взрослого человека при объёме около 5 литров имеют внутреннюю поверхность порядка 70 м² — это возможно именно потому, что дыхательные пути ветвятся примерно 23 раза подряд.
Когда живой или физической системе нужна большая поверхность контакта при малом объёме, ветвление решает задачу точнее, чем любая гладкая форма. Сплошной мешок с тем же объёмом имел бы поверхность в сотни раз меньше. Поэтому один и тот же приём — повторяющееся деление на более мелкие ветви — возникает в системах, которые ничего не знают друг о друге: в лёгких млекопитающих, в сосудах листа, в корневой системе, в речных дельтах, в молниях. Правило ветвления не принадлежит биологии или географии — оно диктуется геометрией и общим требованием «много поверхности в малом объёме».
Измерять такие структуры можно фрактальной размерностью: чем меньше линейка, тем длиннее получается контур, и по скорости этого роста вычисляют число между 1 и 2 (для береговой линии Британии — около 1,25).
Почему у фрактала всегда конечное число уровней. Фрактальная размерность D вводится через измерение: если покрыть контур линейкой длины ε, понадобится N(ε) отрезков, и между ними выполняется N(ε) ∝ ε^(−D). Для гладкой линии D = 1, для плотно заполненной плоскости D = 2. Береговая линия Британии при уменьшении линейки удлиняется между ними: D ≈ 1,25.
Природные фракталы, в отличие от математических, всегда ограничены сверху и снизу: лёгкие перестают ветвиться на 23-м уровне, потому что дальше альвеола становится меньше расстояния, на которое молекула кислорода успевает пройти диффузией; дерево — на 7–10-м уровне, потому что более тонкая ветка не удержит лист или не получит достаточно света. Масштаб работы закона задаёт физика конкретной среды, а не сама формула ветвления.
Как это узнаёт наука. Фрактальную размерность измеряют методом покрытия (box-counting): на снимок накладывают сетку с разным шагом и считают, сколько клеток содержит объект. Логарифмический наклон этой зависимости и есть D. Так измеряют размерность сосудистой сети по рентгеновским снимкам, трещин — по фотографиям горных пород, облаков — по спутниковым данным.
Закон Клайбера. Если геометрия сосудистой сети фрактальна, то и скорость обмена через неё подчиняется степенному закону: метаболизм животного растёт как m^0,75 от массы. Слон на килограмм веса потребляет примерно в 20 раз меньше пищи, чем мышь. Почему именно показатель 3/4, а не 2/3 (как было бы для гладкой сферы) — обсуждается до сих пор.
Сколько это в числах Фрактальная размерность считается по тому, как растёт число покрывающих объект клеток при уменьшении их размера: $N(r) \sim r^{-D}$. Словами: во сколько раз больше деталей проявляется, когда всматриваешься вдвое пристальнее. У гладкой кривой $D = 1$, у заполняющей плоскость — 2; природные объекты лежат между.
Измеренные значения: береговая линия Норвегии — 1,52, Великобритании — 1,25, а сравнительно ровное побережье Южной Африки — 1,05. Крона дерева даёт около 1,7, бронхиальное дерево человека — примерно 2,9, то есть почти заполняет объём лёгких: именно поэтому их поверхность газообмена достигает 70 квадратных метров при объёме в несколько литров.
Отсюда и знаменитый парадокс длины: измеряя береговую линию Британии шагом в 100 километров, получают около 2800 км, шагом в 50 километров — 3400 км, а с картой крупного масштаба цифра растёт дальше. Ответ зависит от линейки, и это не дефект измерения, а свойство самой линии.
Границы: где самоподобие кончается — Всегда сверху и снизу. У природного фрактала есть наибольший масштаб (размер самого объекта) и наименьший — размер клетки, песчинки, молекулы. Между ними обычно укладывается два-три порядка, редко больше. Математический фрактал бесконечен, природный — нет, и разговоры о «бесконечной сложности природы» этим и ограничены. — Самоподобие статистическое, а не точное. Ветка дерева похожа на дерево не буквально, а в среднем — по распределению углов и длин. Точное самоподобие есть только у построенных объектов вроде снежинки Коха. — Одного числа мало. Размерность сжимает форму до одной цифры, и совершенно разные объекты могут иметь одинаковый $D$. Для описания реальных структур используют целый спектр размерностей — мультифрактальный анализ. — Метод измерения влияет на результат. Клеточный подсчёт, циркульный метод и спектральные оценки дают для одного объекта расходящиеся значения; сравнивать опубликованные размерности можно только при одинаковой методике.
О чём спорят Насколько фрактальность — объяснение, а не описание, обсуждается до сих пор. Критики указывают: показать, что структура самоподобна, ещё не значит объяснить, почему она такой стала; вывод закона Клайбера из оптимальности сосудистой сети опирается на допущения, которые сами требуют обоснования. Сторонники отвечают, что фрактальная геометрия даёт проверяемые предсказания — например, связь между размерностью сети и показателем в законе масштабирования, — и что предсказания эти сбываются на широком классе организмов.
Открытый вопрос. Можно ли из одного принципа «много поверхности в малом объёме» вывести число уровней ветвления, углы между ветвями, соотношение диаметров родительской и дочерней ветвей? Частично да (модели Уэста–Брауна–Энквиста, закон Мюррея для сосудов). Полного вывода «от первых принципов» для живых ветвящихся систем пока нет.
Лекция по теме Александр Гасников, «Фракталы» — самоподобие от береговой линии и фьордов до кроны дерева, с разбором размерности.
Научно-популярный туризм