В обычной жизни металл — образец твёрдости: его прочность решает, гнётся он или держит. Но при давлениях в сотни тысяч атмосфер прочностью можно попросту пренебречь — на её фоне она исчезающе мала, и металл начинает течь, как несжимаемая жидкость. На этом основан кумулятивный заряд: конический облицованный металлом заряд при взрыве схлопывается в тончайшую струю, разгоняемую до ~10 км/с, — и эта металлическая «струя воды» пробивает броню.
Объяснил это Михаил Алексеевич Лаврентьев — математик и механик, основатель Сибирского отделения Академии наук и всего новосибирского Академгородка. Красота его модели в том, что грозный кумулятивный удар сводится к изящной задаче на комплексной плоскости.
Конический облицованный заряд при взрыве схлопывается к оси и выбрасывает вперёд тонкую быструю кумулятивную струю — ту, что пробивает броню.
Как же твёрдость вдруг перестаёт играть роль — и почему течение металла удобнее всего считать на плоскости комплексных чисел?
У всякого материала есть предел текучести $\sigma_y$ — напряжение, за которым он течёт, а не пружинит. В обычных условиях давления много меньше $\sigma_y$, и поведение задаёт прочность. Но в кумулятивной струе давление чудовищно:
$$ P \gg \sigma_y $$
и прочностью можно пренебречь — остаётся чистая гидродинамика несжимаемой жидкости, уравнение Эйлера:
$$ \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla P $$
Дальше — ход Лаврентьева. Плоское течение идеальной жидкости можно описать одной комплексной функцией — комплексным потенциалом $W = \varphi + i\psi$ от переменной $z = x + iy$. Его производная сразу даёт скорость: $\dfrac{dW}{dz} = v_x - i\,v_y$. А линии уровня мнимой части $\psi = \text{const}$ — это линии тока, вдоль которых течёт жидкость. Свободная граница струи как раз и есть такая линия тока $\psi = \text{const}$1. Так геометрия удара превращается в задачу про функции комплексного переменного.
Где работает тот же закон?
Тот же комплексный потенциал описывает обтекание крыла, струю воды из брандспойта, течение вокруг опоры моста — любое плоское безвихревое течение. А «металл-жидкость» при сверхдавлениях работает не только в военном деле: так штампуют и сваривают взрывом, так моделируют удары метеоритов и астрофизические струи.
Плоское безвихревое течение идеальной жидкости описывается комплексным потенциалом $W=\varphi+i\psi$, $dW/dz = v_x - i v_y$; линии $\psi=\text{const}$ — линии тока, свободная граница струи — одна из них. Гидродинамическую теорию кумуляции развил М. А. Лаврентьев (Wikipedia, «Potential flow § Complex potential»; «Shaped charge»). ↩
Секрет — в конформном отображении. Плоское течение жидкости со свободными границами имеет неудобную, заранее неизвестную форму. Но конформное отображение умеет распрямлять геометрию: оно переводит запутанную физическую область в простую (скажем, в полосу или полуплоскость), сохраняя углы, — и в этой простой области линии тока становятся прямыми $\psi = \text{const}$. Решив лёгкую задачу, отображение возвращают обратно — и получают форму и скорость струи. Свободная граница, которую в лоб искать почти невозможно, в правильной комплексной картине становится обычной координатной линией.
А ещё Лаврентьев перенёс в науку инженерный принцип. «Треугольник Лаврентьева» — это институт, университет и завод в одном месте, чтобы открытие быстро доходило до дела. С проспекта его имени и начинается весь Академгородок.
Открытый вопрос
Модель «металл как идеальная жидкость» отлично описывает струю в целом — но на концах и при разрыве струи на капли в дело снова вступают и прочность, и вязкость, и неустойчивости. Где именно проходит граница, за которой красивая комплексная картина перестаёт работать, уточняют и сегодня.
