Как металл заставили течь

В обычной жизни металл — образец твёрдости: его прочность решает, гнётся он или держит. Но при давлениях в сотни тысяч атмосфер прочностью можно попросту пренебречь — на её фоне она исчезающе мала, и металл начинает течь, как несжимаемая жидкость. На этом основан кумулятивный заряд: конический облицованный металлом заряд при взрыве схлопывается в тончайшую струю, разгоняемую до ~10 км/с, — и эта металлическая «струя воды» пробивает броню.

Объяснил это Михаил Алексеевич Лаврентьев — математик и механик, основатель Сибирского отделения Академии наук и всего новосибирского Академгородка. Красота его модели в том, что грозный кумулятивный удар сводится к изящной задаче на комплексной плоскости.

Как же твёрдость вдруг перестаёт играть роль — и почему течение металла удобнее всего считать на плоскости комплексных чисел?

У всякого материала есть предел текучести $\sigma_y$ — напряжение, за которым он течёт, а не пружинит. В обычных условиях давления много меньше $\sigma_y$, и поведение задаёт прочность. Но в кумулятивной струе давление чудовищно:

$$ P \gg \sigma_y $$

модель

и прочностью можно пренебречь — остаётся чистая гидродинамика несжимаемой жидкости, уравнение Эйлера:

$$ \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla P $$

модель

Дальше — ход Лаврентьева. Плоское течение идеальной жидкости можно описать одной комплексной функцией — комплексным потенциалом $W = \varphi + i\psi$ от переменной $z = x + iy$. Его производная сразу даёт скорость: $\dfrac{dW}{dz} = v_x - i\,v_y$. А линии уровня мнимой части $\psi = \text{const}$ — это линии тока, вдоль которых течёт жидкость. Свободная граница струи как раз и есть такая линия тока $\psi = \text{const}$¹. Так геометрия удара превращается в задачу про функции комплексного переменного.

Где работает тот же закон?

Тот же комплексный потенциал описывает обтекание крыла, струю воды из брандспойта, течение вокруг опоры моста — любое плоское безвихревое течение. А «металл-жидкость» при сверхдавлениях работает не только в военном деле: так штампуют и сваривают взрывом, так моделируют удары метеоритов и астрофизические струи.

Откуда взялись цифры, при которых сталь ведёт себя как вода Утверждение «металл течёт» проверяется одним сравнением. Предел текучести конструкционной стали — около $3\cdot 10^{8}$ Па, то есть 3 тысячи атмосфер. Давление на фронте детонации бризантного взрывчатого вещества — порядка $2\cdot 10^{10}$ Па, 200 тысяч атмосфер. Разница почти в семьдесят раз: там, где действует такое давление, прочность материала — поправка, а не главный член. Именно поэтому уравнения движения можно писать так, будто твёрдого тела нет вовсе, а есть жидкость плотностью $\rho \approx 7{,}8\cdot 10^{3}$ кг/м³.

Скорость струи оценивается из того же соображения. Приравняв работу давления кинетической энергии, $P \sim \tfrac{1}{2}\rho v^{2}$, получаем

$$ v \sim \sqrt{\frac{2P}{\rho}} \approx \sqrt{\frac{2\cdot 2\cdot 10^{10}}{7{,}8\cdot 10^{3}}} \approx 2{,}3\cdot 10^{3}\ \text{м/с}, $$

оценка порядка

то есть около 2 километров в секунду — уже на этой грубой оценке видно, что счёт идёт на километры в секунду, а не на сотни метров. Схлопывание конической облицовки добавляет к этому кумулятивный множитель: сходящаяся к оси оболочка разгоняет головную часть струи до 7–10 км/с, вчетверо быстрее самой детонации.

Что предполагается 1. Давление настолько превосходит предел текучести, что прочностью пренебрегают целиком. 2. Металл считается несжимаемым: при $P \sim 10^{10}$ Па плотность меняется на проценты, и на фоне остальных допущений это мелочь. 3. Течение безвихревое — тогда поле скоростей задаётся одной функцией, и работает весь аппарат теории функций комплексного переменного.

Зачем здесь комплексная плоскость Плоское безвихревое течение идеальной жидкости описывается комплексным потенциалом $W(z) = \varphi(x,y) + i\,\psi(x,y)$, где $\varphi$ — потенциал скорости, а $\psi$ — функция тока¹. Производная сразу даёт обе составляющие скорости:

$$ \frac{dW}{dz} = u - i v . $$

модель

Иначе говоря, одна аналитическая функция несёт всю информацию о течении, и вместо системы уравнений в частных производных получается задача о подборе функции с нужным поведением на границе.

Главная трудность здесь особая: граница струи заранее неизвестна. Стенку трубы можно нарисовать, а край свободной струи — нет, он сам вырабатывается течением. Такие задачи называют задачами со свободной границей. Условие на ней простое по виду и неудобное по сути: вдоль границы $\psi = \text{const}$ (это линия тока) и одновременно постоянно давление. Лаврентьев показал, как конформным отображением развернуть неизвестную область в полосу или полуплоскость, где обе задачи решаются, а затем вернуться обратно, — так форма струи находится вместе с течением, а не задаётся руками.

Где модель заканчивается Гидродинамическая картина точна ровно там, где велико давление, — и рассыпается, когда оно спадает.

• Хвост струи. Головная часть летит на 7–10 км/с, хвостовая — на 1–2 км/с. Струя растягивается и на дистанции порядка десяти диаметров заряда рвётся на отдельные фрагменты; дальше пробивное действие резко падает. Идеальная жидкость этого разрыва не предсказывает — он определяется как раз прочностью и вязкостью, которыми мы пренебрегли. — Материал облицовки. Медь, из которой обычно делают конус, тянется в струю хорошо. Сталь при тех же условиях склонна дробиться, а не течь: тут «пренебрежём прочностью» уже неверно. — Несжимаемость. На фронте самой детонации плотность меняется заметно, и там нужна ударная адиабата, а не потенциальное течение.

Что осталось спорным Единой картины разрушения струи нет до сих пор. Одни модели объясняют распад развитием неустойчивости растягивающейся жидкой нити — по существу тем же механизмом, что разбивает струю воды из крана на капли. Другие исходят из того, что металл к этому моменту уже остыл и ведёт себя как твёрдое тело с дефектами, и тогда работает не гидродинамика, а механика разрушения. От того, какая картина верна, зависит расчёт предельной дистанции, — и здесь наука ещё не договорилась.

Проверяемый вопрос Заряд диаметром 100 мм, головная часть струи — 8 км/с, хвостовая — 1,5 км/с. Через какое время после схлопывания расстояние между головой и хвостом достигнет десяти диаметров, то есть метра, и струя начнёт рваться?