Перед вами две пары маятников — попробуйте их раскачать. Кажется, что массивный груз разгоняется лениво и должен отставать. Проверьте.
Левая пара: нити одинаковой длины, но один шар тяжелее другого в 2,5 раза. Отведите оба на один угол и отпустите вместе — они идут в один ритм, почти не расходясь. Масса на темп качания не влияет.
Правая пара: шары одинаковые, нити различаются в четыре раза, 25 сантиметров и 1 метр. Здесь разница сразу видна: короткий маятник частит, длинный ленится. Но вот что неожиданно — длину увеличили вчетверо, а период вырос лишь вдвое. Время одного качания растёт как квадратный корень из длины.
Оба опыта можно повторить и без стенда — в модели с двумя маятниками: там меняются длина нити, масса груза и угол отвода, а период меряется прямо на экране.
Тяжёлый шар и правда труднее разогнать. Но сила тяжести, возвращающая его к низшей точке, ровно во столько же раз больше. Два эффекта гасят друг друга — и масса выпадает из ответа. Длина не выпадает: чем длиннее нить, тем мягче маятник возвращается к равновесию и тем дольше тянется каждое качание.
Всё это собрано в одной формуле. Для небольших отклонений период колебаний — время одного полного качания — равен
$$T = 2\pi\sqrt{L/g}$$
модель
где $L$ — длина нити, а $g \approx 9{,}81\,\text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения. Массы в формуле нет вовсе, а длина стоит под корнем: увеличите $L$ вчетверо — период вырастет лишь в $\sqrt{4} = 2$ раза. Ровно это вы и видите на правой паре.
Отклонённый шар сила тяжести тянет вниз, но по инерции он проскакивает нижнюю точку и улетает в другую сторону. При этом маятник всё время перекладывает энергию из одного кармана в другой. Кинетическая энергия — за счёт движения, в нижней точке её максимум. Потенциальная — за счёт высоты, на краю размаха её максимум, а скорость там равна нулю. Сумма двух карманов не меняется: это закон сохранения энергии, и именно он держит ритм маятника постоянным.
Формулу можно повернуть и в обратную сторону: измерили период, знаете длину — вычисляете силу земного притяжения,
$$g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$$
модель
Для маятника длиной $L = 1$ м период получается около $T = 2$ с. Подставьте эти числа — выйдет $g \approx 9{,}8\,\text{м/с}^2$, то самое значение, что стоит во всех учебниках. По сути, перед вами гравиметр на нитке: качающийся груз взвешивает планету.
Именно постоянство этого ритма когда-то подарило людям точное время. Ещё в начале XVII века Галилей заметил: при небольших размахах время одного качания почти не зависит от того, велик размах или мал. Позже это свойство легло в основу маятниковых часов, которые два с лишним столетия оставались самыми точными приборами для измерения времени на Земле.
Маятник — один из самых важных объектов в физике. Именно на нём впервые стало ясно: очень разные системы могут подчиняться одному и тому же закону колебаний.
На стенде маятник работает гравиметром: измерили период $T$, знаете длину $L$ — получили $g$. Но одно измерение даёт лишь оценку и ничего не говорит о том, насколько ей можно доверять. Поэтому в школьных и студенческих лабораториях период засекают на нескольких длинах нити и обрабатывают все результаты сразу.
Делают так. Для каждой длины $L$ замеряют период $T$ и наносят на график точку с координатами $(\sqrt{L},\,T)$. Если формула верна, точки должны лечь на прямую, проходящую через начало координат: ведь $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ — это прямая пропорциональность между $T$ и $\sqrt{L}$ с наклоном $k = 2\pi/\sqrt{g}$. По наклону и восстанавливают $g$.
Но точки никогда не лягут на прямую идеально: в каждом замере есть маленькая ошибка. Через облако точек проводят прямую, которая «лучше всего соответствует» всем данным сразу. Что значит «лучше всего», уточняет следующий приём.
Возьмём любую прямую-кандидат. Для каждой точки посмотрим, насколько она отклонилась от прямой по вертикали, и возведём отклонение в квадрат. Сложим все квадраты. У одной-единственной прямой эта сумма окажется наименьшей — её и принимают за лучшую. Для прямой $y = k x$ через начало координат оптимальный наклон даётся формулой
$$k = \dfrac{\sum_i x_i y_i}{\sum_i x_i^2}$$
модель
а отсюда $g = (2\pi/k)^2$. Этот приём — обработку набора неточных измерений через минимум суммы квадратов — придумали в начале XIX века Лежандр и Гаусс1; сегодня он работает в любой науке, где данные ложатся на линию с разбросом.
На самом стенде длины всего две — для прямой через начало координат это даёт наклон одной строкой арифметики по формуле выше (сама прямая, вообще говоря, не пройдёт ровно через обе точки — она лишь минимизирует сумму квадратов). Настоящая регрессия, где минимум суммы квадратов работает в полную силу, начинается с пяти-десяти точек.
Колебания маятника — частный случай общего закона колебаний в физике. Возьмём любой объект, спокойно сидящий в положении равновесия: шарик на дне ямки, груз на ненатянутой пружине, атом, удерживаемый в кристалле соседями. Слегка выведем его из равновесия — на него тут же начнёт действовать возвращающая сила, тем большая, чем дальше он отклонился. Если этот объект отпустить, он начнёт колебаться, и при небольших отклонениях движение будет похоже на качание маятника.
Когда возвращающая сила пропорциональна смещению, колебания называются гармоническими, а такая система — гармоническим осциллятором. Маятник при малых углах — гармонический осциллятор. Период гармонических колебаний всегда устроен одинаково:
$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\text{инерция}}{\text{жёсткость}}}$$
модель
«Инерция» — то, что мешает объекту быстро менять скорость; «жёсткость» — то, насколько круто растёт возвращающая сила при отклонении.
У маятника при малом угле возвращающая сила линейна по смещению, и формула даёт $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. У груза на пружине сила Гука линейна по смещению по самому определению пружины — выходит $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. В электрической цепи с катушкой и конденсатором (LC-контуре) роль инерции играет индуктивность $L$ (катушка сопротивляется изменению тока), роль жёсткости — обратная ёмкость $1/C$, и период колебаний тока равен $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Системы устроены совершенно по-разному, но вблизи равновесия их описывает одна и та же формула:
| Система | Инерция | Жёсткость | Период |
|---|---|---|---|
| Маятник | длина $L$ | притяжение $g$ | $2\pi\sqrt{L/g}$ |
| Груз на пружине | масса $m$ | жёсткость пружины $k$ | $2\pi\sqrt{m/k}$ |
| LC-контур | индуктивность $L$ | обратная ёмкость $1/C$ | $2\pi\sqrt{LC}$ |
Это, пожалуй, главная универсальная модель в физике: с неё начинается и квантовая механика, и теория звука, и физика твёрдого тела.
В кристаллической решётке атомы тоже колеблются возле своих положений равновесия. При очень малых отклонениях каждое такое колебание — почти гармоническое. Но при больших амплитудах или при учёте взаимодействия многих атомов одновременно картина становится сложнее, и описание уже выходит за рамки одного гармонического осциллятора.
Если повесить два маятника рядом — близко, но не вплотную, — между ними возникает слабая связь: каждый чуть-чуть тянет другой через общую опору. У такой системы есть два возможных режима колебаний:
Любое начальное движение раскладывается на сумму этих двух режимов. И вот что интересно: даже если сначала маятники качаются как попало, со временем они начинают двигаться согласованно. Дело в том, что в синфазном режиме маятники одновременно дёргают опору в одну сторону и тратят на её раскачивание энергию; в противофазном режиме рывки гасят друг друга, опора почти не реагирует, и колебания почти не теряют энергии. Синфазный режим затухает быстрее, и через несколько минут остаётся только противофазный: маятники качаются согласованно, в противоположных направлениях.
Это явление впервые заметил Христиан Гюйгенс в 1665 году2. Он лежал больной в постели и наблюдал за двумя маятниковыми часами, висевшими на общей балке. Через какое-то время часы пошли удивительно согласованно — Гюйгенс назвал это «странной симпатией часов». Аккуратно, с измерениями, опыт воспроизвели уже в наши дни — на метрономах, поставленных на подвижную платформу3.
То, что наблюдал Гюйгенс с двумя часами, — простейший пример очень общего явления, синхронизации. Когда есть несколько колеблющихся объектов с разными собственными ритмами и между ними есть пусть слабое, но взаимодействие, при достаточной его силе все они начинают подстраиваться друг под друга и идут в едином ритме.
В физике классическое описание синхронизации даёт модель Курамото (1975)4. В ней рассматривают $N$ абстрактных осцилляторов с разными собственными частотами и слабой взаимной связью. Каждый осциллятор реагирует на средний ритм соседей: если все вокруг идут быстрее — он чуть ускоряется, если медленнее — замедляется. Главный результат модели в том, что когда сила связи между осцилляторами превышает определённый порог, в системе появляется коллективное поведение: часть популяции захватывается общим ритмом, и доля синхронизованных осцилляторов плавно растёт с увеличением связи. Сам переход не выглядит как мгновенный щелчок — это постепенное «втягивание» осцилляторов в общий ритм.
Модель Курамото описывает абстрактные осцилляторы, но тот же сценарий — «много слабо взаимодействующих ритмов, при достаточной связи постепенно подстраивающихся друг под друга» — встречается в очень разных системах живой природы:
Так замыкается круг: те же самые два маятника, что качаются перед вами на стенде, через общую опору исподволь тянут друг друга — и от этой слабой связи вы дотягиваетесь до пульса сердца, мерцания светлячков5 и согласованной работы нейронов. Один закон колебаний, одна формула — и целый мир явлений, которые на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.
Границы формулы маятника Знакомое $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ — не точный закон, а первый член разложения, и стоит знать, где он расходится с действительностью.
Почему период меряют не один раз, а десятками Ошибка секундомера складывается из реакции человека — порядка 0,2 секунды на каждое нажатие. Если мерить один период длительностью около 2 секунд, относительная ошибка составит 10 %. Засекая двадцать колебаний подряд, ту же абсолютную ошибку делят на двадцать: 0,5 %. Дальше усреднение по $n$ повторам снижает случайную часть ещё как $1/\sqrt{n}$.
Именно поэтому в формуле прямой $T^2 = (4\pi^2/g)\,L$ важен не только наклон, но и то, как точки ложатся вокруг него: разброс показывает, чем измерение ограничено на самом деле — рукой экспериментатора или свойствами маятника.
Где спорят до сих пор Величина $g$ не константа: она меняется от полюса к экватору на 0,5 %, падает с высотой примерно на 0,3 % за десять километров и отзывается на плотность пород под ногами. На этом стоит гравиразведка — поиск залежей по аномалиям поля. Спорный вопрос здесь в другом: насколько маятниковые измерения XIX века, которыми составлены первые карты аномалий, сопоставимы с современными данными спутниковой гравиметрии. Расхождения в отдельных районах достигают величин, которые одни исследователи объясняют систематическими ошибками старых приборов, а другие — реальными изменениями поля за столетие.
Лекция по теме Александр Гасников, «Опыт Галилея по измерению ускорения свободного падения» — наклонная плоскость, водяные часы и первое количественное измерение g.
Метод опубликован Лежандром (1805), независимо развит Гауссом. ↩
Наблюдение «странной симпатии» двух часов (1665) пересказано в современной работе об опыте Гюйгенса. M. Bennett, M. F. Schatz, H. Rockwood, K. Wiesenfeld, Huygens's clocks, Proc. R. Soc. A 458 (2002). ↩
Количественное воспроизведение на метрономах: M. Bennett, M. F. Schatz, H. Rockwood, K. Wiesenfeld, Huygens's clocks, Proc. R. Soc. A 458 (2002) 563–579. ↩
Y. Kuramoto, «Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators» (1975). ↩
Род светляков с синхронным миганием на «деревьях светлячков» в Юго-Восточной Азии. ↩
Научно-популярный туризм