Математика негладкого мира

Обычная производная отвечает на вопрос «с какой скоростью величина меняется в этой точке». Вопрос имеет смысл, пока величина меняется плавно. Но в природе полно мест, где она меняется скачком. Сверхзвуковой самолёт оставляет за собой скачок уплотнения: на расстоянии в доли миллиметра давление вырастает в несколько раз. Колонна машин упирается в аварию — на границе затора плотность прыгает с двадцати машин на километр до полутора сотен. В таких точках «скорость изменения» бесконечна, классической производной нет, и уравнение, написанное через производные, здесь теряет смысл.

Двадцатый век показал, что отмахнуться от разрывов не выйдет. Они не поломка модели и не следствие грубого приближения: гладкое начальное состояние в уравнениях газовой динамики само, за конечное время, порождает разрыв. Скачок уплотнения не приносят извне — он образуется, потому что задние волны догоняют передние.

Сергей Львович Соболев — основатель и первый директор Института математики в новосибирском Академгородке — предложил выход: не пытаться дифференцировать разрыв, а переложить производную на другую функцию, гладкую. Приём выглядит трюком, но именно он позволил считать то, что до этого считать не умели, и лёг в основу метода конечных элементов — того самого, которым сегодня рассчитывают мосты, крыло самолёта и распространение сейсмических волн. Как работает переброс производной — в разделе «Как это работает».

Ключ — формула интегрирования по частям. Возьмём гладкую функцию $u$ и «пробную» функцию $\varphi$ — тоже гладкую, но обращающуюся в нуль вне некоторого отрезка. Тогда

$$ \int u'\varphi\,dx = -\int u\,\varphi'\,dx $$

модель

(внеинтегральные слагаемые пропадают: на краях $\varphi$ равна нулю). Посмотрите на правую часть: производной от $u$ в ней уже нет — она перешла на $\varphi$. А $\varphi$ мы выбираем сами и делаем сколь угодно гладкой.

Отсюда определение. Функцию $v$ называют слабой, или обобщённой, производной функции $u$, если равенство

$$ \int u\, D^\alpha\varphi\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int v\,\varphi\,dx $$

модель

выполнено для всех пробных $\varphi$¹. Гладкость $u$ проверять больше не нужно: под интегралом от неё производную никто не берёт. Функции, у которых такие производные до порядка $k$ существуют и интегрируемы в степени $p$, образуют пространство Соболева $W^{k,p}(\Omega)$ — среду, где негладкие решения живут на законных основаниях.

Проверим на ступеньке Хевисайда: $H(x)=0$ при $x<0$ и $H(x)=1$ при $x>0$. Подставляем в определение:

$$ -\int_{-\infty}^{\infty} H(x)\varphi'(x)\,dx = -\int_{0}^{\infty}\varphi'(x)\,dx = \varphi(0). $$

модель

Справа получилась операция «взять значение пробной функции в нуле». Это и есть дельта Дирака: $\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$. Значит, $H'=\delta$ — производная скачка есть точечный источник, сосредоточенный ровно в месте скачка. Ни бесконечностей, ни неопределённостей: объект задан тем, что он делает с пробными функциями.

Где работает тот же закон

На слабой постановке стоит метод конечных элементов: расчёт мостов и зданий, аэродинамика, теплообмен, моделирование климата, сейсморазведка. Из того же круга идей выросла теория распределений Лорана Шварца, за которую он получил Филдсовскую премию в 1950 году, — но обобщённые функции Соболев ввёл раньше, в 1936-м, и пришёл к ним от волнового уравнения.

Откуда взялась нужда в негладких решениях Классическое решение уравнения обязано иметь ровно столько производных, сколько в уравнение входит. Требование выглядит естественным ровно до первой встречи с физикой. Возьмём простейшее уравнение переноса с нелинейной скоростью,

$$ u_t + \big(f(u)\big)_x = 0, $$

модель

словами: величина $u$ переносится вдоль потока со скоростью $f'(u)$, зависящей от самой $u$. Стартуем с гладкого начального распределения — и через конечное время получаем разрыв, потому что точки с большим $u$ едут быстрее и догоняют передние. Производной в точке разрыва нет, классического решения нет — а вода в канале, воздух в трубе и поток машин на шоссе при этом никуда не делись и продолжают двигаться. Значит, дело не в природе, а в определении: слишком узкое понятие решения отсекает ответы, которые физически существуют.

Слабое решение: перекладываем производную Выход, найденный Соболевым в 1930-е, состоит в том, чтобы не требовать производной от $u$ вовсе, а проверять уравнение «под интегралом» — против пробной функции $\varphi$, гладкой и обращающейся в нуль вне ограниченного участка:

$$ \iint \big( u\,\varphi_t + f(u)\,\varphi_x \big)\,dx\,dt = 0 \quad \text{для всех } \varphi . $$

модель

Иначе говоря: производные сняты с неизвестной функции и переложены на пробную, которую мы выбираем сами и делаем сколь угодно гладкой. Функция $u$ теперь может иметь скачок — под интегралом это не мешает.

Что предполагается 1. Уравнение записано в дивергентной форме — иначе интегральная формулировка не выводится, а значит и скачок посчитать нечем. 2. Величина $u$ сохраняется (машины не исчезают, масса не пропадает) — из этого выводится условие на скачок. 3. Функции берутся из подходящего пространства Соболева $W^{k}_{p}$: с производными в слабом смысле, суммируемыми в нужной степени.

Скорость скачка считается точно Как только допущен разрыв, возникает вопрос: с какой скоростью он идёт? Ответ даёт условие Ранкина—Гюгонио: если слева от разрыва значение $u_-$, справа $u_+$, то фронт движется со скоростью

$$ s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}, $$

модель

то есть скорость скачка — это наклон хорды, соединяющей две точки на кривой потока, а не касательной к ней. Величина вполне измеримая: для транспортного потока $s$ — это скорость, с которой хвост пробки ползёт назад по шоссе, порядка 15–20 км/ч на городской магистрали, и она заметно отличается от скорости самих машин.

Почему одного слабого решения мало Здесь у теории обнаруживается неприятное свойство: слабых решений слишком много. У одной и той же задачи их может быть несколько, и все формально удовлетворяют интегральному тождеству — включая физически невозможные, где разрыв самопроизвольно возникает из гладких данных и расходится веером. Чтобы отсечь лишнее, добавляют условие энтропии: физическим считается лишь тот разрыв, к которому характеристики сходятся с обеих сторон ($f'(u_-) > s > f'(u_+)$), а не разбегаются. Условие не выводится из самого уравнения — оно приходит из физики, как память о вязкости, которой в идеальной модели уже нет.

Границы применимости — Для скалярного уравнения существование и единственность энтропийного решения доказаны (теорема Кружкова, 1970). Для систем уравнений в нескольких измерениях общей теоремы нет до сих пор — это одна из открытых задач в теории уравнений в частных производных. — Слабое решение ничего не говорит о внутренней структуре скачка. В реальном газе фронт ударной волны имеет толщину порядка нескольких длин свободного пробега — доли микрометра; в модели он идеально тонкий. Всё, что происходит внутри фронта, модель заменяет условием на скачок. — Пространства Соболева требуют оговорки о размерности: функция из $W^{1}_{2}$ на прямой непрерывна, а в трёхмерном пространстве — уже нет. Теоремы вложения Соболева как раз и отвечают на вопрос, какая гладкость гарантируется в каком случае.

Проверяемый вопрос Поток на шоссе описывается диаграммой, у которой скорость движения падает от 90 км/ч при свободной дороге до нуля при плотности затора. Впереди встало ДТП. С какой скоростью хвост образовавшейся пробки пойдёт навстречу потоку — и через сколько минут он дойдёт до предыдущей развязки в трёх километрах позади?