Солнечные часы

Посмотри на тень от гномона — наклонного стержня в центре циферблата. Одна и та же тень умеет показывать сразу три вещи: который сейчас час, где север, и на какой широте мы стоим.

Час. Найди метку, к которой ближе всего край тени. Это истинное местное солнечное время — момент, когда Солнце стоит над этой точкой земного шара. Прибавь сегодняшнюю поправку из таблицы на стенде — получишь время на телефоне. В поправке два слагаемых: неравномерность хода Земли по орбите (несколько минут туда-сюда) и сдвиг нашей долготы относительно меридиана часового пояса. Из-за второго слагаемого и декретного часа в России полная поправка может достигать десятков минут — точное значение на сегодня берётся из таблицы на стенде.

Север. Дождись местного полудня — момента, когда тень самая короткая за день. В этот момент она указывает строго на север. Без компаса, без поправок на магнитное склонение.

Широта. Длина полуденной тени в день летнего солнцестояния (около 22 июня) связана с географической широтой места. Двадцать три века назад этим воспользовался Эратосфен: палка, колодец и расстояние между двумя городами — большего для измерения окружности Земли ему не понадобилось.

Опыт Эратосфена

В III веке до н. э. директор Александрийской библиотеки Эратосфен Киренский измерил окружность Земли. Без телескопа и астрономических приборов — только палка, её тень и сообщение из соседнего города.

Эратосфен знал, что в Сиене (нынешний Асуан) в день летнего солнцестояния в полдень Солнце стоит точно над головой: вертикальные предметы не отбрасывают тени, а свет доходит до дна глубокого колодца. В тот же момент в Александрии, лежащей к северу, гномон отбрасывал короткую тень — под углом $7{,}2°$ к вертикали.

Что из этого следует

Возьми апельсин и воткни в него две спички — одну строго по радиусу в одну точку, вторую так же — в другую. Поднеси конструкцию к далёкой лампе. Спичка, направленная прямо на лампу, тени не даёт. Вторая, повёрнутая относительно первой, наклонена к лучам света и отбрасывает короткую тень. Угол между двумя спичками равен углу между двумя радиусами апельсина в этих точках.

Сиена и Александрия — две такие точки на «апельсине» Земли. Спичка в Сиене — без тени. Спичка в Александрии — с тенью под $7{,}2°$. Значит, угол между радиусами Земли в этих точках тоже $7{,}2°$.

Дальше — арифметика. Полная окружность — $360°$. Дуга между двумя городами — $7{,}2°$, то есть $1/50$ окружности. Расстояние между Сиеной и Александрией, известное по караванным путям, — около 5000 стадий, примерно 800 км. Значит, вся окружность Земли в пятьдесят раз больше:

$$ L = \frac{360°}{7{,}2°} \cdot 800\ \text{км} = 50 \cdot 800\ \text{км} \approx 40\,000\ \text{км}. $$

Палка, тень и письмо из соседнего города дали 40 000 км. Современное значение — 40 075 км: ошибка эксперимента меньше одного процента.

Откуда берутся три ответа тени

Эратосфен использовал длину тени, чтобы вычислить разницу широт. Но у тени есть ещё два независимых свойства, и на них держится остальная история измерения мира.

Длина тени → широта. Высота Солнца над горизонтом в полдень зависит от даты и широты места. Зная одно и измерив другое, можно вычислить третье. По этому принципу до конца XX века моряки определяли своё положение в открытом океане секстантом.

Направление тени → стороны света. В полдень Солнце оказывается ровно на юге, и тень указывает строго на север. У такой стрелки есть преимущество перед магнитной: она показывает истинный географический север, без поправки на магнитное склонение (в Москве оно сейчас около $11°$ к востоку). Этим способом египтяне выравнивали основания пирамид: грани пирамиды Хеопса отклоняются от истинного направления «север–юг» меньше чем на десятую долю градуса.¹

Скорость поворота тени → время. Земля поворачивается на $15°$ в час. Если плоскость циферблата параллельна экватору, а гномон — оси вращения Земли, тень на циферблате поворачивается с той же равномерной скоростью. Поэтому метки можно нанести через равные углы — как сделано на этих часах.

Где принцип работает сегодня

Древние строители читали тень так же внимательно. Стоунхендж в Англии указывает на точку восхода Солнца в день летнего солнцестояния; пирамида Кукулькана в Чичен-Ице сложена так, что в дни равноденствий тень на её ступенях собирается в фигуру ползущей змеи. А спутниковая навигация в твоём телефоне — это тот же опыт Эратосфена, только поставленный с ног на голову: палку в нём заменили атомные часы на спутниках, а тень — радиосигнал. Геометрия осталась прежней.

Тень как часы: геометрия экваториального циферблата

Почему метки идут через равные углы? Земля поворачивается равномерно — на $15°$ в час. Если плоскость циферблата параллельна плоскости земного экватора, а гномон параллелен оси вращения, тень на циферблате поворачивается ровно с той же скоростью, что и Земля.

Понять это проще мысленным переносом. Представь, что ты стоишь на Северном полюсе. Ось Земли направлена вертикально, а горизонтальная плоскость под ногами параллельна плоскости экватора. Палка, воткнутая в полюс, отбрасывает тень, которая поворачивается абсолютно равномерно: Земля делает $15°$ в час, и тень делает то же самое. Из любой другой точки шара эту равномерность можно сохранить, наклонив весь чертёж так, чтобы циферблат остался параллельным экватору, а гномон — оси Земли. Экваториальный циферблат и есть такой наклонённый чертёж — он повторяет геометрию вращения Земли в уменьшенном масштабе.

Горизонтальные часы. У них циферблат лежит на земле. Тень в экваториальной плоскости по-прежнему поворачивается равномерно — на $15°$ в час. Но её проекция на горизонт уже неравномерна: у полудня тень за час сдвигается на меньший угол, к утру и вечеру — на больший. На циферблате это видно так: метки гуще к полудню и реже к краям. Угол метки $\alpha$ от полуденной линии связан с широтой места $\varphi$ и часовым углом Солнца $H$ (по $15°$ за каждый час от полудня):

$$ \tan \alpha = \sin \varphi \cdot \tan H. $$

Чем южнее, тем меньше $\sin \varphi$ и тем сильнее метки сбегаются к полудню. На экваторе ($\varphi = 0$) горизонтальный циферблат вырождается: гномон ложится в плоскость циферблата, и развести часовые метки уже нечем. По той же формуле мастер строит вертикальный циферблат на стене дома — меняются только углы.

Тень как компас: ориентирование по полуденной тени

Этот способ ориентирования старше магнитного компаса на тысячи лет. Им пользовались египетские землемеры, выравнивая основания пирамид по линии «север–юг»: грани пирамиды Хеопса отклоняются от истинного направления меньше чем на десятую долю градуса.¹ Финикийские мореплаватели держали курс по полуденной тени задолго до того, как магнитный компас дошёл из Китая в Средиземноморье.

Магнитная стрелка указывает не туда: она смотрит на магнитный полюс, не совпадающий с географическим, и угол между ними называется магнитным склонением. В Москве оно сейчас около $+11°$ к востоку, в Казани около $+13°$, в Иркутске около $-2°$.² Магнитный полюс к тому же дрейфует — за последнее столетие он сместился из канадской Арктики в сторону Сибири, и геомагнитную модель приходится переиздавать каждые пять лет. Полуденная тень от всех этих поправок свободна.

А как поймать момент местного полудня без часов? Замечай длину тени в течение дня и запомни кратчайшую — это и есть истинный полдень в данной точке.

Тень как координата: подробнее об опыте Эратосфена

Высота Солнца над горизонтом в полдень рассчитывается по формуле

$$ h = 90° - \varphi + \delta, $$

где $\varphi$ — географическая широта места, а $\delta$ — склонение Солнца, то есть угол его подъёма над небесным экватором. Из-за наклона земной оси $\delta$ меняется в течение года от $-23{,}4°$ зимой до $+23{,}4°$ летом — здесь и далее $23{,}5°$ берём как округление точного значения $23{,}44°$.³

В день летнего солнцестояния $\delta = +23{,}5°$. На широте Тропика Рака ($\varphi = 23{,}5°$) высота получается ровно $90°$: Солнце в зените, вертикальные предметы тени не отбрасывают. Севернее тень появляется и удлиняется. Сиена лежала почти точно на Тропике, Александрия — севернее на $7{,}2°$.

Главная сила опыта — в правильности допущений. Эратосфен принял, что Земля — шар, что Солнце далеко (и его лучи в обеих точках параллельны) и что разница углов Солнца равна разнице широт. Все три допущения оказались верны с высокой точностью; ошибка в окружности Земли — меньше одного процента.

Современная навигация

Астрономическая навигация. До появления GPS моряки и геодезисты определяли координаты по высоте Солнца и звёзд. Высоту измеряли секстантом — портативным прибором, дающим угловое расстояние от светила до горизонта. По высоте Солнца в полдень или Полярной звезды ночью находили широту. Для долготы нужен был ещё один прибор — точный морской хронометр, идущий по гринвичскому времени: долготу вычисляли по разнице между местным временем (моментом полудня на корабле) и показанием хронометра. Точность хорошего секстанта — до угловой минуты, что в паре с хронометром даёт ошибку места около километра. Задачу долготы на море впервые решил английский часовщик Джон Гаррисон в середине XVIII века; до его хронометра долгота оставалась нерешаемой инструментально, и корабли регулярно теряли курс на сотни миль.⁴ В военном флоте астрономическая навигация оставалась резервным методом до конца XX века.

GPS. Спутниковая навигация работает по той же геометрической идее, что и Эратосфен, только обратным ходом. Спутники с атомными часами на орбите посылают сигналы; приёмник измеряет время прихода сигналов от нескольких спутников и вычисляет собственное положение. Принцип прежний: время плюс геометрия равно координата. Точность гражданского GPS — около 3 м, геодезического — до миллиметров.

Археоастрономия. Многие древние сооружения ориентированы по точкам восхода Солнца в дни солнцестояний и равноденствий. По этой ориентации археологи судят о назначении и культурном контексте построек — от европейских мегалитов до древних обсерваторий.

Открытый вопрос

Все три ответа палка извлекла из одного-единственного сигнала — из геометрии тени. Но тень исчезает, как только Солнце прячется за облаком. Можно ли тогда вытянуть направление из другого свойства солнечного света?

Можно — и в природе это давно сделано. Пчёлы ориентируются по поляризации неба, даже когда самого Солнца не видно, лишь бы оставался открытый кусочек голубого неба. Свет, рассеянный молекулами атмосферы, поляризуется характерным образом относительно направления на Солнце; у пчелы в верхней части глаза есть поляризационный фильтр, и она «считывает» по нему направление, как мы считываем время по тени. Эту способность открыл австрийский этолог Карл фон Фриш.⁵

Тем же приёмом пользуются современные поляризационные компасы — для облачной погоды и для движения под водой, где тени нет вовсе. Палка больше не нужна, нужен фильтр в глазу или на сенсоре. Логика прежняя: измерь геометрический параметр света — узнай место. А какое ещё свойство солнечного луча можно превратить в прибор?