Спутниковая навигация

Посмотри вниз. На металлическом кружке у тебя под ногами выбиты координаты этой точки — широта и долгота, измеренные геодезистами с точностью до сантиметров. Чтобы определить их, бригада с тяжёлой аппаратурой провела на этом самом месте долгие часы.

А теперь открой на смартфоне любое навигационное приложение. На экране появятся почти те же самые цифры — и приёмнику в кармане хватило на это нескольких секунд. Те же координаты приходят к тебе двумя совершенно разными путями: одни выбиты в латуни под ногами, другие падают с орбиты высотой двадцать тысяч километров. Как тонкий радиосигнал из космоса заменяет работу целой геодезической бригады?

Представь, что тебе известно расстояние от тебя до колокольни в центре города — допустим, три километра. Где ты находишься? Где-то на окружности радиуса три километра вокруг колокольни. Добавим вторую известную точку, скажем водонапорную башню, и второе расстояние до неё. Две окружности пересекаются в двух точках — остаётся выбрать из них одну. С тремя известными точками выбор становится однозначным.

Спутниковая навигация устроена точно так же, только в трёхмерном пространстве и с движущимися «колокольнями». Их роль выполняют навигационные спутники, обращающиеся вокруг Земли на высоте около 20 000 километров.¹ Каждый спутник непрерывно передаёт радиосигнал, в котором содержатся показания его бортовых часов и параметры орбиты, по которым приёмник вычисляет положение спутника в данный момент времени. Всю остальную работу выполняет приёмник в смартфоне.

Расстояние из задержки

Радиосигнал распространяется со скоростью света и доходит до приёмника за доли секунды. Приёмник сравнивает время, записанное в сигнале, с показаниями собственных часов и получает задержку $\Delta t$. Умножив её на скорость света $c$, он узнаёт расстояние до спутника:

$$d = c\,\Delta t$$

Одного расстояния мало: приёмник может находиться в любой точке сферы такого радиуса вокруг спутника. Два расстояния задают окружность пересечения двух сфер, а три — оставляют единственную точку вблизи поверхности Земли. Эта точка и есть искомые координаты. Способ измерения расстояния по задержке сигнала называется в науке дальнометрией по времени распространения.

На практике спутников нужно не три, а четыре: дополнительный сигнал позволяет приёмнику учесть неточность собственных часов — подробнее об этом за QR-кодом.

Откуда берётся точность: 30 сантиметров за наносекунду

Что определяет точность всей системы? Точность измерения времени. Здесь работает одно простое соотношение: за наносекунду — миллиардную долю секунды — свет проходит 30 сантиметров. Значит, ошибка часов в одну наносекунду даёт ошибку координаты в 30 сантиметров, а ошибка в одну микросекунду — уже 300 метров, то есть смещение на соседнюю улицу.

Поэтому на спутниках стоят атомные часы. Обычные кварцевые часы, какими снабжены бытовые приборы, начинают отклоняться от эталона на микросекунды уже за секунды или минуты работы — а для спутниковой навигации даже такая ошибка слишком велика. Никакие технические ухищрения этот предел не обходят: инженеры могут лишь максимально приблизить измерения к физическим границам точности.

Почему точность падает под навесом

Метод корректен, пока сигнал доходит до приёмника по прямой. Под навесом, крышей или плотной кроной часть излучения отражается от препятствия и приходит окольным путём с дополнительной задержкой. Приёмник, не различая прямой и отражённый сигналы, воспринимает увеличение задержки как увеличение расстояния, и координаты смещаются. В тоннеле, в помещении и под водой навигация перестаёт работать вовсе: прямой радиосигнал до приёмника просто не доходит.

Это не недостаток аппаратуры, а ограничение самого метода. Когда расстояние вычисляется по времени прихода сигнала, любое отражение искажает результат — и в эхолоте, и в радаре, и в спутниковом приёмнике.

Где ещё работает тот же принцип

Дальнометрия по времени распространения встречается в самых разных областях. Летучая мышь посылает ультразвуковой импульс и по времени возврата эха определяет, где находится мотылёк. Сейсмологи устанавливают эпицентр землетрясения по разнице во времени прихода волны на удалённые станции. Тем же приёмом пользуется любой наблюдатель грозы: задержка в три секунды между молнией и громом соответствует примерно одному километру при скорости звука 340 м/с.

Спутниковая навигация работает по той же схеме, но с радиосигналом вместо звука. Замена скорости звука на скорость света позволяет применить метод к спутникам на высоте 20 000 километров — однако той же заменой увеличивается и цена ошибки во времени: ошибка в одну микросекунду переводится теперь не в сантиметры, а в сотни метров. Поэтому работоспособность системы держится не на скорости сигнала, а на точности атомных часов на борту спутника.

Из приведённого выше рассуждения может показаться, что трёх спутников достаточно: у приёмника три неизвестные координаты — широта, долгота и высота, — и три измеренных расстояния задают три уравнения.

Каждое уравнение представляет собой теорему Пифагора в трёхмерном пространстве: квадрат расстояния от приёмника до спутника равен сумме квадратов разностей их координат по трём осям. Известны координаты спутника и измеренное расстояние, неизвестны три координаты приёмника. Одно уравнение задаёт сферу; два — окружность их пересечения; три — две точки, из которых лишь одна лежит вблизи поверхности Земли.

В этом рассуждении неявно предполагается, что приёмник измеряет время прихода сигнала абсолютно точно. На деле часы приёмника не атомные, а кварцевые, и их показания расходятся с истинным временем на неизвестную величину порядка микросекунд. Эта величина искажает измеренную задержку одинаково для всех спутников сразу, и в каждое из трёх уравнений входит одна и та же дополнительная неизвестная — поправка часов приёмника. Неизвестных становится четыре, а для однозначного решения системы из четырёх неизвестных нужно четыре уравнения. Четвёртое поставляет сигнал от четвёртого спутника.

В результате приёмник одновременно вычисляет своё положение и поправку к собственным часам. Благодаря этому даже бытовой смартфон знает точное время лучше, чем позволяет его собственный кварцевый механизм.

Релятивистские поправки

Часы на навигационном спутнике идут не с той же скоростью, что аналогичные часы на поверхности Земли. Здесь одновременно действуют два релятивистских эффекта, направленных в противоположные стороны.

Согласно специальной теории относительности, движущиеся часы идут медленнее неподвижных, и быстро летящий по орбите спутник замедляется. Согласно общей теории относительности, часы в более слабом гравитационном поле идут быстрее, а гравитация на высоте 20 000 километров заметно слабее, чем у поверхности Земли. Второй эффект превосходит первый, и в сумме бортовые часы уходят вперёд относительно земных примерно на 38 микросекунд в сутки.¹

Если бы при проектировании системы эти поправки не учитывались, ошибка определения координат нарастала бы со скоростью около 11 километров в сутки — и через несколько часов система стала бы бесполезной.² Спутниковая навигация — один из редких примеров техники, где теория относительности выступает не как теоретическое построение, а как обязательный рабочий элемент инженерного расчёта.

Другие навигационные системы

Помимо американской GPS в мире одновременно работают российская ГЛОНАСС, европейская Galileo и китайская BeiDou. Физический принцип у всех четырёх систем один и тот же; различаются они частотами сигналов, числом спутников в группировке и конфигурацией орбит. Современный смартфон, как правило, принимает сигналы нескольких систем сразу — и общее число доступных спутников оказывается заметно больше, чем у любой отдельной из них, что повышает точность.

Предел точности гражданского сигнала

Почему в обычном режиме спутниковая навигация даёт точность лишь 2–5 метров? Точность ограничивают одновременно три фактора.

Первый — ионосфера. При прохождении через верхние слои атмосферы скорость радиосигнала изменяется, и приёмник учитывает эту задержку только приближённо.

Второй — многолучёвость. В городской застройке сигнал многократно отражается от стен и крыш зданий, и приёмнику трудно выделить прямой луч среди отражённых.

Третий — конечное временное разрешение самого кодового сигнала. У передаваемой со спутника последовательности есть наименьший различимый временной интервал, ниже которого измерение задержки в принципе невозможно.

Существуют, впрочем, геодезические приёмники, обрабатывающие не код, а фазу несущей радиоволны. Они достигают миллиметровой точности, но требуют принципиально иной аппаратуры и многочасовых сеансов наблюдений на каждой точке. Именно такими приёмниками выбивался кружок у твоих ног.

Интерактивная карта спутников

Веб-страница, на которую ведёт этот QR-код, в реальном времени показывает все навигационные спутники, активные сейчас над этой точкой. Сравни полное число спутников на карте с тем, которое видит твой смартфон: приёмник в кармане принимает заметно меньше, потому что часть сигналов перекрыта зданиями, рельефом и кронами деревьев.