Как измерить расстояние хлопком

Встань на помост лицом к противоположному склону. За спиной — звукопоглощающий экран: он гасит звук, уходящий в сторону леса, чтобы обратно приходило только эхо от склона. Громко хлопни в ладоши один раз — и отсчитай про себя время до возвращения эха. Затем обогни экран, встань лицом к лесу и хлопни снова: лес ближе склона, и его эхо вернётся заметно быстрее. Разницу слышно на слух.

Звук идёт с известной скоростью, поэтому задержка эха — это, по сути, линейка: чем дальше склон, тем дольше ждёшь ответа.

Скорость звука в воздухе у земли при обычной температуре близка к $340$ м/с и от направления почти не зависит¹. За время $t$ между хлопком и эхом волна успевает дойти до склона и вернуться, то есть пройти удвоенное расстояние. Значит, расстояние до склона — это половина пройденного пути:

$$ s = \frac{v \cdot t}{2} $$

модель

где $v$ — скорость звука. Считать удобно в уме: эхо через секунду — склон в $170$ метрах, через полсекунды — в $85$, через две секунды — в $340$.

Тот же приём работает в технике и в живой природе. Корабельный эхолот измеряет глубину моря по времени возвращения сигнала. Ультразвуковой сканер строит изображение внутренних органов по отражению волн внутри тела. А летучие мыши и дельфины буквально «видят» мир эхом: испускают звуки и определяют расстояние до объектов по задержке отклика.

Почему то же эхо, что есть на улице, пропадает в комнате?

Дело не в стенах, а в слухе: у него конечное временное разрешение. Если отражение приходит почти сразу за исходным звуком, мозг не разделяет их и слышит как один слитный сигнал. Отдельное эхо мы замечаем, только когда задержка превышает порог различения — около $50$ миллисекунд². Меньшие задержки сливаются в гулкость и эхом не воспринимаются.

Этот порог сразу задаёт минимальную дистанцию, с которой эхо вообще различимо. Подставим граничную задержку в ту же формулу:

$$ s_{\min} = \frac{v\,t_{\text{порог}}}{2} = \frac{340 \cdot 0{,}05}{2} \approx 8{,}5\ \text{м} $$

оценка порядка

За пороговые $50$ мс звук пробегает около $17$ метров туда-обратно, то есть до препятствия и назад — а это всего 8–9 метров до стены. Ближе этого предела отражения сливаются с исходным звуком в реверберацию. В комнате все стены ближе, поэтому эха и нет; склон оврага далеко за порогом — и эхо слышно отчётливо.

Как впервые измерили скорость звука

Скорость звука в воздухе одним из первых измерил французский математик Марен Мерсенн около $1630$ года — сразу двумя способами³. В первом он засекал секундным маятником время между вспышкой пушечного выстрела и приходом звука на известном расстоянии: свет доходит практически мгновенно, поэтому весь интервал — это время пробега звука. Вышло около $448$ м/с. Во втором Мерсенн становился на известном расстоянии от стены и засекал время между выстрелом и эхом — тем же приёмом, что повторяет посетитель этого стенда. Здесь получилось около $315$ м/с.

Разрыв между двумя цифрами был так велик, что современники подозревали: отражённый звук будто бы движется медленнее прямого. На деле всё портила неточность отсчёта времени без хороших часов. Истинное значение лежит между двумя измерениями Мерсенна и при умеренной температуре близко к $340$ м/с; к концу XVIII века его определили уже точно.

Эхолокация держится на одном допущении: что скорость звука известна. Стоит присмотреться — и оказывается, что она заметно гуляет с температурой, и именно это ограничивает точность измерения расстояния по эху.

Волновая модель эха

Звук — продольная механическая волна: вдоль луча распространяются не сами молекулы воздуха, а области повышенного и пониженного давления. Скорость волны определяется тем, насколько быстро среда передаёт упругие деформации. Для идеального газа её задаёт формула

$$ v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} $$

модель

где $\gamma$ — показатель адиабаты, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура, $M$ — молярная масса газа.

Главное следствие — под корнем стоит температура: чем теплее воздух, тем быстрее звук. У земли скорость растёт примерно на $0{,}6$ м/с на каждый градус¹:

Поэтому летним днём и морозным утром одно и то же эхо отвечает за немного разные расстояния, и «$340$ м/с» — это оценка для умеренных $15$ °C, а не универсальная константа.

Почему эхолокация — это измерение времени

Расстояние до препятствия мы достаём из задержки по той же формуле $s = v \cdot t / 2$: волна идёт туда и обратно, поэтому путь вдвое больше. Значит, точность дальности целиком упирается в точность хронометража: ошибка во времени напрямую переходит в ошибку в метрах. По сути любая эхолокация — от корабельного эхолота до медицинского сканера — это умение очень точно измерять время прихода отражённого сигнала.

Эхолот живой природы

Особенно впечатляет эхолокация летучих мышей. Они испускают короткие импульсы частотой примерно от $14$ до более чем $100$ килогерц — в основном это ультразвук, выше порога человеческого слуха, — и разбирают отражённый сигнал за доли секунды². Техника умеет посылать и принимать такой ультразвук не хуже мыши. Но мозг животного делает большее: по одному отклику он одновременно восстанавливает расстояние, размер, форму, фактуру поверхности и даже характер движения добычи.

Как нейронные сети мозга выполняют такую обработку в реальном времени — до сих пор одна из открытых задач нейрофизиологии.

Границы измерения хлопком — Порог различения эха. Слух перестаёт отделять эхо от самого хлопка, если задержка меньше примерно 0,05 секунды: звуки сливаются. При скорости 340 м/с это соответствует расстоянию до преграды менее 9 метров — ближе измерить на слух нельзя в принципе, нужен микрофон и запись. — Нужна большая гладкая стена. Отражатель должен быть заметно шире длины волны. Хлопок содержит частоты около 1 кГц, длина волны 34 сантиметра; скала или стена работают, отдельное дерево или столб — нет, звук их огибает. — Затухание с расстоянием. Интенсивность падает как $1/r^2$, а высокие частоты вдобавок поглощаются воздухом сильнее низких. Дальше 150–200 метров эхо от хлопка на открытом месте расслышать обычно не удаётся, и звук возвращается глухим — высокие составляющие потерялись по дороге. — Ветер и температурные слои. Попутный ветер прибавляет к скорости звука свою скорость, встречный вычитает; при 5 м/с это полтора процента. Слоистость температуры искривляет луч: над нагретой землёй звук уходит вверх, над остывшей — прижимается к поверхности, из-за чего вечером эхо слышно заметно дальше.

Насколько «340» — правда Скорость звука в воздухе зависит от температуры как $v = 331{,}5\sqrt{1 + t/273}$, что вблизи обычных температур даёт удобное приближение +0,6 м/с на каждый градус. Словами: 331,5 м/с при нуле, 343 при +20, 355 при +40. Значит, взяв круглые 340 в морозный день при −20 °C, где реальное значение 319 м/с, вы завысите расстояние на 6,6 % — на дистанции 100 метров это почти семь метров.

Влажность добавляет немного: во влажном воздухе звук идёт чуть быстрее, чем в сухом, — водяной пар легче азота и кислорода. Поправка не превышает 0,5 % и заметна только при высокой температуре.

О чём стоит знать Тот же принцип «время туда-обратно, делённое пополам» работает в эхолоте, ультразвуковом дальномере, радаре и лазерном тахеометре — меняется только скорость волны и точность измерения времени. В медицинском ультразвуке допущение о постоянной скорости даёт ошибку: прибор считает, что звук идёт в тканях со скоростью 1540 м/с, тогда как в жире это 1450, а в мышце 1580, — отсюда геометрические искажения на снимках, о которых врач знает и делает поправку.