Почему мы не падаем при езде на велосипеде?

Велосипед, прислонённый к стене, стоит. Отодвиньте стену — и он ляжет на бок за пару секунд. Опора у него — две точки касания шириной с покрышку, а центр тяжести вместе с седоком поднят выше метра. В покое такая конструкция падает, и загадки тут нет.

Загадочно другое. Разгоните тот же велосипед и отпустите без седока. Он покатится по длинной пологой дуге и продержится вертикально секунд двадцать против двух. А человек едет часами и о равновесии не думает вовсе. Значит, вопроса два: что держит велосипед под седоком и что держит его без седока.

Велосипед с человеком — перевёрнутый маятник. Отклонился от вертикали на градус — тяжесть тянет дальше, всё быстрее. Удержать перевёрнутый маятник можно одним способом: подводить опору туда, куда он валится, — так держат палку на ладони. У едущего велосипеда способ сместить опору вбок один — повернуть руль: колёса пойдут по дуге, линия опоры уедет в сторону поворота и снова окажется под центром тяжести. Отсюда правило, которое велосипедист исполняет, ни разу не сформулировав: валитесь влево — рулите влево.

Что сделать. Возьмите велосипед за седло, катите рядом и наклоните вбок. Руль повернётся в сторону наклона сам — никто его не трогает. Эта связь наклона с поворотом и держит пустую машину.

Падение, которое непрерывно исправляют. Если закрепить вилку намертво, пусть даже идеально прямо, ехать становится нельзя совсем: седок лишается единственного инструмента, которым правит равновесие. Из этой же механики следует всё, что велосипедист знает на ощупь. Быстро ехать легче, чем медленно: боковое ускорение на дуге растёт как квадрат скорости, вдвое быстрее — и для той же поправки хватает вчетверо меньшего доворота руля. На малом ходу руль приходится бросать далеко в сторону, и езда шагом требует большего умения, чем быстрая. Стоя на месте, равновесие не удержать: при нулевой скорости дуги нет. Трюкачи, стоящие на педалях неподвижно, всё время чуть подкатываются вперёд и назад, добывая сантиметры хода, без которых руль бесполезен.

1. валитесь в сторону — рулите в ту же сторону
2. наклон: опора ушла из-под центра тяжести
3. руль в сторону наклона — опора вернулась под центр

Есть следствие против ощущения: чтобы поехать влево, нужно сперва на долю секунды довернуть руль вправо. Опора уходит вправо, машина начинает падать влево, и это падение уже ведут по левой дуге. На мотоцикле приём выражен настолько, что ему учат отдельно — контрруление; велосипедист делает то же, не подозревая.

Предположения, стоящие за картиной:

1. Велосипед сам по себе неустойчив: без вмешательства любой наклон растёт.
2. Единственный рычаг седока — поворот руля; наклон тела работает только через него.
3. Скорость не нулевая: чем быстрее, тем меньший доворот нужен для той же поправки.

Что велосипед делает сам. Пустая машина держится потому, что наклон рамы сам поворачивает руль в сторону наклона. Причин две. Переднее колесо — раскрученный диск с моментом импульса, и наклон рамы разворачивает его прецессией в сторону наклона. И точка касания переднего колеса лежит на несколько сантиметров позади того места, где ось рулевой колонки пересекает землю: колесо катится следом за осью, как ролик магазинной тележки, и при наклоне тяжесть доворачивает его туда, куда валится рама. Это вынос. Учебники обычно останавливались на первой причине, и место оказалось слабым: в 1970 году Дэвид Джонс навесил на вилку второе колесо и раскрутил его встречно, погасив момент импульса, — велосипед поехал как обычный. Позже собрали машину без гироскопа и с отрицательным выносом — сбитая толчком, она всё равно возвращалась к вертикали. Ни то ни другое не обязательно; решает прежде всего то, где относительно оси руля сидит масса передней вилки с колесом.

1. ось руля пересекает землю впереди точки касания
2. вынос: колесо катится следом за осью, как ролик тележки
3. наклон рамы сам доворачивает руль в сторону наклона

Как это называют. Задача о велосипеде — из класса задач об управлении перевёрнутым маятником: система неустойчива сама по себе и держится обратной связью. Доворот против будущего поворота — контрруление, отставание точки касания от оси колонки — вынос, способность катящейся машины возвращаться к вертикали без седока — самоустойчивость. Полоса скоростей, в которой велосипед самоустойчив, узкая: для эталонной машины она лежит примерно между 15 и 22 км/ч; ниже нарастает виляние руля, выше велосипед медленно заваливается на бок.

Тот же принцип в других местах. Сегвей и балансирующие роботы держат равновесие тем же приёмом, только опору подводят приводом колёс: датчик наклона опрашивают сотни раз в секунду. Ракета на старте — перевёрнутый маятник с тягой снизу; двигатель поворачивают в кардане, направляя тягу под уходящую вбок ось. Так же устроена ходьба: стоять на двух ногах устойчиво, а идти — значит непрерывно ронять себя вперёд и подставлять ногу туда, куда падаете. Каждый шаг — пойманное падение, и потому дети учатся не столько шагать, сколько ловить.

Сколько наклона нужно повороту. На дуге радиуса $R$ при скорости $v$ велосипед с седоком должен быть наклонён внутрь на угол

$$\tan\theta = \frac{v^{2}}{gR}$$

модель

иначе центробежная сила опрокинет его наружу. Иначе говоря, поворот и наклон — одно и то же, записанное дважды: нельзя повернуть, не наклонившись, и нельзя наклониться, не повернув. При 5 м/с (18 км/ч) и радиусе 10 м угол — около 14°; при 2 м/с и том же радиусе — 2°, и малейшая ошибка в руле сразу выводит из равновесия. Отсюда и то, что на скорости велосипед «сам едет», а шагом — нет: та же поправка наклона требует руля в $v^{2}$ раз меньше.

Как измерили самоустойчивость. Первую полную систему уравнений велосипеда записал в 1899 году кембриджский студент Фрэнсис Уиппл, и она сто лет считалась слишком сложной, чтобы проверять. В 2007 году голландская и американская группы сверили её с четырьмя независимыми выводами и с опытом, получив для эталонного велосипеда полосу самоустойчивости 4,3–6,0 м/с — те самые 15–22 км/ч¹. А в 2011 году та же группа построила двухколёсную машину без гироскопического эффекта и с отрицательным выносом, которая всё равно сама возвращалась к вертикали, и закрыла спор, начатый Джонсом: самоустойчивость — свойство распределения масс, а не какого-то одного эффекта. Правило простое: передняя часть должна валиться в наклон быстрее задней, тогда руль доворачивается сам².

Как правит человек. Замеры на велосипедах с датчиками показали: на прямой руль ходит на доли градуса десятки раз в минуту, и седок этого не замечает; главная поправка идёт рулём, а не телом. Опыт с зафиксированным рулём делает езду невозможной при любой свободе тела. Иначе говоря, «баланс телом» — ощущение, а не механизм: тело меняет наклон рамы, а спасает всё равно руль.

Границы этого рассуждения.

• Самоустойчивость — узкая полоса. Вне 15–22 км/ч пустой велосипед падает; седок держит его на любой скорости, кроме нулевой.
• Модель — жёсткие тела и катящиеся без скольжения колёса. Мокрый асфальт, мягкая покрышка и гибкая рама сдвигают полосу, иногда сильно.
• Гироскоп не «держит», но помогает. Момент импульса колеса ускоряет доворот руля; на детском велосипеде с маленькими колёсами его почти нет, и потому ребёнку труднее.
• Ходьба — аналогия, не тождество. У ноги опора переставляется скачком, у велосипеда — непрерывно; математика похожа, но не одна.

О чём спорят. Учебники и научно-популярные книги полвека объясняли велосипед гироскопом, потом — выносом; сейчас известно, что ни то ни другое не необходимо, но какой из механизмов главный у обычного дорожного велосипеда — вопрос о числах, и разные авторы, подставляя разные массы и геометрию, получают разный ответ. Единого мнения нет, потому что «обычного велосипеда» не существует: у каждого свои массы и углы².

Открытый вопрос. Как именно человек учится ездить? Что руль — единственный инструмент, известно; какой алгоритм в голове его двигает, как быстро он настраивается на новую машину и почему навык не забывается десятилетиями, измеряют только сейчас, с датчиками на руле и седоке. Обратная связь есть, а её закон пока не записан.