Водораздел

Конёк двускатной крыши делит дождь между двумя жёлобами: капли с одного ската уходят в один водосток, со второго — в другой, а граница пробегает ровно по верхней линии. Площадка под ногами устроена так же, только сделана не строителем, а самой природой.

Присмотрись: от узкой полосы под ногами поверхность мягко понижается в две стороны, к вытянутым ложбинам. В сухую погоду их легко не заметить, но во время дождя и снеготаяния по ним сбегает вода. Капля, упавшая чуть в одну сторону от линии под ногами, уйдёт в один сток, упавшая чуть в другую — в соседний.

Эту линию называют водоразделом. Площадь, с которой вода собирается в один сток, — её водосбором. Водораздел нигде не размечен: его рисует сам рельеф, и проходит он по гребням — там, где склон меняет направление. Площадка вокруг стенда — примерно сто на сто метров; короткий ливень в десять миллиметров обрушивает на неё около ста тонн воды, и ту часть, что сбежит по поверхности, водораздел под ногами делит надвое.

Как вода выбирает путь? Каждая капля движется вниз по самому крутому из доступных ей склонов: гравитация тянет её к земле, а рельеф направляет туда, где спуск круче всего. Маленькие потоки сливаются в ручьи, ручьи — в малые реки, малые реки — в большие. Вода, ушедшая с этой площадки, в конце концов попадает в Свиягу, оттуда в Волгу и в Каспий.

Сколько воды приносит обычный дождь? Метеорологи измеряют дождь толщиной слоя воды, который остался бы на ровной поверхности, если бы ничего не впитывалось и не стекало. Слой в десять миллиметров — примерно с кончик мизинца — даёт на квадратный километр 10 000 тонн воды.

Куда она уходит? По поверхности течёт не вся эта масса. Часть впитывается в почву и пополняет грунтовые воды (инфильтрация), часть испаряется с поверхности и через листья деревьев (испарение и транспирация), а остаток сбегает к понижениям и образует поверхностный сток — именно его собирают ручьи и реки. Бухгалтерия дождя сводится к простому балансу:

$$ R = P - I - E - T $$

где $P$ — выпавшие осадки, $I$ — инфильтрация, $E$ — испарение, $T$ — транспирация, а сток $R$ — то, что осталось ручьям. Под лесом почва рыхлая и проницаемая, поэтому большая доля воды уходит в землю: из тех же десяти миллиметров до стока доходит лишь пятая-четвёртая часть. Из ста тонн, упавших на площадку у стенда, по ложбинам сбежит порядка двадцати-двадцати пяти тонн — остальное впитается и испарится.

Та же закономерность встречается не только в течении воды, но и в движении самых разных потоков: кровотоком в тканях, распространением тепла, электрическими цепями и даже обучением нейронных сетей. Во всех этих системах под действием разницы давлений, температур, напряжений или вероятностей что-то переносится из области «избытка» в область «недостатка». Подробнее по QR-коду.

1. Что общего у дождя, крови и нейронной сети? На первый взгляд ничего. Но если смотреть на них как на потоки, устроены все три одинаково: что-то течёт по «склону» некоторого поля, и пространство при этом разделяется на области сбора.

В гидрологии градиентом служит высота, потоком — стекающая вода, бассейном — речной водосбор, гребнем — водораздел.

В тканях организма градиент задаёт давление, потоком служат кровь и межклеточная жидкость, бассейнами — зоны, которые «обслуживает» каждый капилляр или вена. И речная сеть, и сеть капилляров устроены ветвисто, по сходным геометрическим правилам — это одно из проявлений общего закона переноса по градиенту.

В машинном обучении параметры обучающейся модели — это точка в многомерном пространстве, на котором задана функция потерь. Оптимизатор сдвигает эту точку по антиградиенту, и она приходит в один из локальных минимумов. Множество начальных положений, из которых траектория сходится к одному и тому же минимуму, называется его бассейном притяжения, а граница между двумя соседними бассейнами — гребнем функции потерь. Слова «бассейн» и «граница бассейна» используются здесь не как метафора: гидрология и обучение нейросетей описываются одной геометрической схемой — спуском по градиенту скалярного поля. Конкретные уравнения у воды и у нейросети, конечно, разные, но геометрия «куда сходятся траектории и где их граница» работает одинаково. Строго совпадает геометрия как раз у этих двух крайних случаев — рельефа и потерь; кровоток же остаётся более рыхлой аналогией, поэтому в таблицу ниже вынесены только два примера общей схемы.

2. Почему важно, что растёт на водосборе? Баланс $R = P - I - E - T$ из соседнего уровня устроен так, что одно и то же небо над лесом и над пашней наполняет ручьи по-разному. Кроны смягчают удар капель, подстилка и корни делают почву рыхлой и проницаемой — под лесом в сток уходит лишь пятая-четвёртая доля дождя, остальное успевает впитаться. На распаханном или утоптанном склоне почва плотная, вода не успевает уйти вглубь, и в сток обращается уже половина и больше. Поэтому облесённый водосбор отдаёт воду медленно и даёт сглаженный паводок, а голое поле — резкий и высокий: тот же дождь, но совсем другой характер реки.

3. Как измеряют водосборы? Площадь и геометрию водосбора сегодня вычисляют по цифровой модели рельефа. Для каждой клетки расчётной сетки алгоритм определяет направление наибольшего уклона и трассирует путь воды до точки слива; объединение клеток, чьи траектории сходятся в одном устье, и составляет водосбор. Этот способ восьми направлений предложили ещё в 1980-х годах¹, и сегодня он лежит в основе любой гидрологической карты, нарисованной по спутниковым данным.

Сами доли стока измеряют экспериментально — десятилетиями сравнивают пару соседних водосборов с разным покровом, облесённый и распаханный. Такие парные наблюдения и показали, что лес меняет не столько общий объём задержанной воды, сколько режим её движения — растягивает сток во времени. В машинном обучении ландшафт функции потерь обследуют тысячами численных запусков с разных начальных точек и составляют карту бассейнов притяжения — она играет ту же роль, что карта водосборов в гидрологии.

4. Стоят ли водоразделы на месте? Нет, речная сеть медленно перестраивается. Один из ручьёв подмывает свой берег быстрее соседа и постепенно отступает вверх по течению; в какой-то момент он подходит к водоразделу настолько близко, что захватывает часть водосбора соседа. Это явление называется перехватом рек, или речным пиратством; узнают его по характерному колену — резкому излому речной долины там, где русло свернуло в чужой бассейн². Водораздел при этом сдвигается медленно — на сотни метров за тысячи лет.

Где и когда произойдёт следующий перехват, заранее предсказать нельзя: процесс зависит от прочности пород, режима осадков, растительного покрова и редких событий вроде катастрофических наводнений. Не исключено, что гребень под этим стендом тоже медленно ползёт в одну из сторон — тогда капля, уходящая сейчас в один сток, через несколько тысяч лет попадёт в другой.