Встаньте в солнечный день рядом с деревом и посмотрите под ноги: тень есть у вас, тень есть у дерева. Солнце освещает вас обоих под одним и тем же углом, поэтому во сколько раз тень дерева длиннее вашей, во столько же раз дерево выше вас.
Нужны три числа: ваш рост и длины двух теней. Рост умножаем на длину тени дерева и делим на длину своей тени. Человек ростом 1,8 м отбрасывает тень 1,2 м, а тень дерева — 10 м: дерево высотой примерно 15 метров. Угол, под которым светит Солнце, знать не нужно — он одинаков для обоих и в расчёте сокращается.
Измерьте свою тень и тень ближайшего дерева — вдвоём и почти одновременно, пока Солнце не сдвинулось. Насколько можно доверять полученным 15 метрам, зависит от нескольких условий: край тени размыт, конец тени может отбрасывать не верхушка, а боковая ветка, а тень может уйти в ложбину или на другой склон. Об этом — в разделе «Как это работает».
Высоту дерева можно узнать, даже если невозможно подойти к нему с рулеткой. Для этого достаточно измерить тень дерева.
Представим, что рядом с деревом стоит человек. Мы знаем его рост — $H$, и можем измерить длину его тени — $l$. Затем измеряем длину тени дерева — $L$.
Солнечные лучи можно считать практически параллельными. Поэтому человек и дерево образуют два похожих треугольника:
$$\frac{h}{L} = \frac{H}{l}$$
Отсюда:
$$h = \frac{H \cdot L}{l}$$
То есть всё просто: рост человека умножаем на длину тени дерева и делим на длину тени человека.
Человек и дерево при одном и том же наклоне лучей дают два подобных треугольника: h / L = H / l.
Например, человек ростом 1,8 м отбрасывает тень длиной 1,2 м, а тень дерева имеет длину 10 м. Тогда
Почему здесь не нужно знать угол падения солнечных лучей? Потому что Солнце освещает и человека, и дерево под одним и тем же углом. Поэтому этот угол в расчёте просто сокращается.
Где возникает ошибка?
Солнце — не точка на небе, а большой светящийся диск. Его видимый размер составляет примерно 0,53°, или 0,0093 радиана.
Поэтому граница тени получается не идеально чёткой. Она постепенно переходит из тёмной области в светлую. Возникает полутень.
Солнце — диск, поэтому у тени нет чёткого края: между полной тенью и светом лежит полоса полутени шириной w. Угол δ показан увеличенным.
Для её ширины можно получить приближённую оценку:
$$w = \frac{h \cdot \delta}{\sin^2 \alpha}$$
где $\alpha$ — высота Солнца над горизонтом, а $\delta \approx 0{,}0093$ радиана — угловой размер Солнца.
Если сравнить ширину полутени с длиной тени дерева, получится:
$$\frac{w}{L} = \frac{2\delta}{\sin 2\alpha}$$
Самая благоприятная ситуация возникает, когда Солнце находится примерно под углом 45°. Даже тогда полутень составляет около 1,9% длины тени.
Для дерева высотой 30 м это может означать неопределённость положения края тени примерно в полметра.
И здесь важный вывод: более точная рулетка не всегда даёт более точный результат. Если сама граница тени размыта, точность ограничена уже не инструментом, а геометрией Солнца.
Но есть ещё одна проблема
Мы предполагаем, что конец тени соответствует самой высокой точке дерева. На практике это может быть не так.
Например, боковая ветка может быть немного ниже верхушки, но сильно выступать в сторону тени. Тогда именно она окажется дальше и определит конец тени.
Пусть ветка отходит в сторону тени на расстояние $a$, а до верхушки она не дотягивает на $\Delta$. Ветка определит конец тени, если
$$a \cdot \operatorname{tg} \alpha > \Delta$$
Тогда высота дерева будет завышена примерно на
$$\Delta h = a \cdot \operatorname{tg} \alpha - \Delta$$
Конец тени определяет боковая ветка, а не верхушка: измеренная высота оказывается больше настоящей на Δh = a · tg α − Δ.
Иными словами, проблема может быть не в измерении тени, а в том, что мы измеряем тень не от той точки дерева.
А если земля наклонена?
Если человек и дерево находятся на одной и той же наклонной поверхности, метод может работать. Но если тень дерева попадает в ложбину или на другой склон, простая пропорция уже может дать ошибку.
На одном скате (а) обе тени удлиняются одинаково и пропорция сохраняется; если тень уходит в ложбину (б), она измерена по другому рельефу.
Почему измерять нужно быстро?
Пока мы измеряем тень, Солнце продолжает двигаться по небу, поэтому длина тени меняется. Лучше измерить обе тени практически одновременно — например, вдвоём.
От дерева — к Земле
Идея сравнивать тени известна с глубокой древности. В III веке до н. э. Эратосфен сравнил положение Солнца в Александрии и Сиене и использовал разницу углов, чтобы оценить размеры Земли. Он получил около 250 000 стадиев. Переводить это число непосредственно в километры нужно осторожно, потому что точная длина древней стадии неизвестна.
Тот же приём у Эратосфена: разность углов в Сиене и Александрии плюс расстояние между ними дают размеры Земли. Угол показан увеличенным.
Получается интересная вещь: тот же принцип, который позволяет измерить дерево, можно использовать для измерения планеты.
Что на самом деле показывает этот пример?
Формула выглядит простой, но сама по себе она ещё не гарантирует правильный результат. Нужно проверить, что обе тени измеряются в одинаковых условиях, поверхность не искажает их, конец тени соответствует верхушке дерева, границу тени можно определить достаточно точно, а обе тени измерены почти одновременно.
Поэтому хороший результат измерения — это не просто число, например 15 метров. Важно понимать, почему мы получили именно это число и насколько оно может отличаться от настоящей высоты.
Именно здесь простая школьная геометрия превращается в настоящую задачу измерений: сначала строится модель, затем делается расчёт, а после этого оцениваются ошибки и ограничения этой модели.
✓ проверено экспертом
Научно-популярный туризм
