Высота дерева по тени

Как измерить то, до чего не дотянуться? Дерево рядом — и его высоту можно узнать, не забираясь на него и не принося лестницы. Нужен только ясный день, метровый штырь и две измеренные тени.

Штырь рядом с вами — ровно 1 метр, со шкалой через 10 см. Измерьте длину его тени — шагами или по шкале на краю площадки. Теперь измерьте длину тени ближайшего дерева. Разделите вторую длину на первую — во столько раз дерево выше метра.

Формула: высота дерева = (тень дерева ÷ тень штыря) × 1 м.

Что сделать. Измерьте тень штыря, измерьте тень ближайшего дерева, посчитайте частное и умножьте на 1 метр. Дополнительно: прикиньте высоту столба ЛЭП, не подходя к нему.

Тень штыря и тень дерева получаются от одного и того же Солнца, в одну и ту же минуту, под одним и тем же углом. Угол одинаковый потому, что Солнце очень далеко — его лучи приходят к Земле параллельными линиями, как строчки на тетрадном листе. Раз углы равны, отношение «высота / тень» одинаково для штыря и для дерева.

Получается измерительный приём: берём предмет, который легко измерить (штырь), и через его тень узнаём высоту предмета, который измерить трудно. Но у приёма есть граница: он работает только потому, что Солнце далеко. Заменим его на близкий источник — лучи разойдутся веером, углы перестанут совпадать, формула перестанет работать.

Почему это работает — и где ломается. Почти ровно 150 миллионов километров — столько от Земли до Солнца. На таком расстоянии солнечный диск виден под углом около половины градуса, а лучи, попадающие на соседние предметы на площадке, расходятся так слабо, что расхождение не измеришь никакой линейкой. Для практики это означает: лучи параллельны. Отсюда — подобие треугольников «высота — тень» для любых двух предметов рядом.

Проверить границу можно прямо: встаньте ночью под уличным фонарём, поставьте рядом два предмета разной высоты и измерьте их тени. Отношение «тень / высота» для них окажется разным — потому что фонарь близко, его лучи расходятся веером. То же Солнце, уменьшенное и приближённое, ломает формулу. Условие «источник света далеко» — не техническая оговорка, а часть закона.

Как это узнаёт наука. В VI веке до н. э. Фалес измерил высоту египетской пирамиды — поставил палку, дождался момента, когда её тень сравнялась с её длиной, и в ту же минуту измерил тень пирамиды. Через три века Эратосфен таким же способом, сравнивая длины теней в Сиене и Александрии в один полдень, получил радиус Земли — с ошибкой в несколько процентов от современного значения. В обоих случаях инструмент — палка и тень.

Сколько это в числах Способ держится на подобии треугольников: если тень палки длиной $l$ равна $s$, а тень дерева $S$, то высота дерева $H = l\,S/s$. Точность зависит от того, как высоко стоит солнце. При высоте светила 45° тень равна высоте, и относительная ошибка измерения тени переходит в высоту один к одному. При высоте 10° тень вытягивается в 5,7 раза — мерить её длинную границу неудобно, зато любая ошибка в определении вершины тени даёт вклад впятеро меньший. Практический оптимум — высота солнца 30–45°, то есть утро и вторая половина дня, а не полдень.

Второй источник ошибки — размытость края тени. Солнце не точечное, его угловой диаметр 32 угловые минуты, поэтому граница тени размывается полутенью шириной примерно $0{,}009\,S$: для тени в 20 метров это 18 сантиметров. Отсюда простое правило: целиться нужно в середину размытой полосы, а не в её край, — иначе высота систематически завышается.

Где способ перестаёт работать — Неровная площадка. Формула предполагает, что основание дерева и конец тени лежат в одной горизонтальной плоскости. При высоте солнца 30° и уклоне всего 10° тень удлиняется в полтора раза, если падает вниз по склону, и укорачивается на четверть, если вверх, — ошибка от −22 до +46 %. Проще найти ровную площадку, чем вводить поправку. — Дерево наклонено. Подобие треугольников работает для вертикали; наклонённый ствол даёт тень, соответствующую его проекции, и высота получается заниженной. — Крона вместо вершины. У лиственных деревьев верхняя точка тени принадлежит крайней ветке, а не макушке. Разница между «высотой дерева» и «высотой тени крайнего побега» на старом дубе — несколько метров. — Пасмурно. Без резкой тени метод не применим вовсе — тогда работают другие приёмы: угловой замер с известного расстояния или высотомер.

О чём стоит знать Тот же приём подобия лежит в основе первого измерения Земли: Эратосфен во III веке до н. э. сравнил длину полуденных теней в Сиене и Александрии и получил окружность планеты с ошибкой около двух процентов от современного значения. Разница только в масштабе — треугольники те же.

Открытый вопрос. Если Солнце всё же не точечное, а имеет размер, — на какой дистанции приближение «лучи параллельны» перестанет хватать? И как тот же принцип «измеряю недоступное через подобие» работает у астрономов, которые определяют расстояние до звёзд, не имея под рукой ни одной палки?