Как возникают солнечные и лунные затмения?

Посмотрите под ноги в тени дерева: просветы между листьями рваные и случайные, а светлые пятна на дорожке — круглые, все до одного. Каждый просвет — крошечная дырочная камера: он рисует не свою форму, а изображение источника света, круглого солнечного диска.

Затмение устроено из тех же трёх вещей: источник, преграда, экран. Затмение — это тень. Солнечное — когда тень Луны падает на Землю, лунное — когда тень Земли накрывает Луну.

Начнём с пятен под деревом. Маленькое отверстие пропускает от каждой точки Солнца по узкому лучику, и все лучики летят дальше по прямой, не смешиваясь: луч от верхнего края солнечного диска уходит вниз, луч от нижнего — вверх. На земле они раскладываются в перевёрнутую картинку источника. Само отверстие может быть каким угодно — треугольным, рваным: оно лишь пропускает лучи, а картинку строит Солнце. Вот почему пятна под деревом круглые. Большое окно, кстати, тоже пропускает лучи — но от каждой точки Солнца проходит уже широкий пучок, сотни сдвинутых картинок накладываются и смазываются в сплошное светлое пятно. Работает именно маленькая дырка.

Размер картинки задаёт одна пропорция, которая пригодится нам ещё дважды. Солнце видно с Земли под углом в полградуса; полградуса — это дробь 1/107: любой предмет, видимый под таким углом, ровно в 107 раз меньше расстояния до него. Значит, и солнечное пятно на земле в 107 раз меньше высоты просвета:

$$d=\frac{H}{107}$$

С пяти метров получается пятно около пяти сантиметров. Формула работает и в обратную сторону: измерив пятно и высоту, вы узнаете угловой размер Солнца, ни разу на него не взглянув.

Теперь заменим листву Луной, а дорожку — Землёй. У тени от протяжённого источника два слоя: полная тень, где Солнце закрыто целиком, и полутень, где закрыт только его край, — оттуда затмение видно как частное. Длину конуса полной тени даёт та же пропорция «один к ста семи». Лучи от противоположных краёв Солнца, скользнувшие по краям Луны, сходятся за ней под тем же углом в полградуса — поэтому конус тени сужается на километр за каждые 107 километров пути и сходит на нет на расстоянии в 107 лунных диаметров:

1. полная тень сужается: на 107 диаметров — в точку (не в масштабе)
2. полутень
3. полная тень
4. не дотянулась — кольцо; дотянулась — полное затмение
5. Солнце
6. Земля

$$L=107\,D_{\text{Луны}}$$

А расстояние до Луны меняется от 356 до 407 тысяч километров: конус то дотягивается до Земли, то нет. Дотянулся — по Земле бежит пятно полной тени шириной обычно в одну-две сотни километров (не более 270): полное затмение. Не дотянулся — Луна не может закрыть весь солнечный диск, и вокруг тёмного круга остаётся ослепительное кольцо: кольцеобразное затмение. Вся разница между ними — пятьдесят тысяч километров эллиптической орбиты.

Земная тень щедрее, но худеет с тем же темпом: километр ширины на каждые 107 километров пути. До орбиты Луны 384 тысячи километров — за них тень теряет 384 000/107 ≈ 3600 км, и из 12 700 километров земного диаметра остаётся около 9100:

$$12\,700-\frac{384\,000}{107}\approx 9\,100\ \text{км}$$

Тень в два с половиной раза шире Луны и накрывает её целиком, поэтому лунное затмение видит сразу вся ночная половина планеты — и длится оно часами, а не минутами. При этом Луна не гаснет, а становится медной. Атмосфера Земли, как слабая линза, заворачивает часть солнечных лучей внутрь конуса тени; синий свет по дороге рассеивается воздухом — тот самый процесс, что делает небо голубым, — а красный проходит насквозь и добирается до Луны. В полной фазе её освещают одновременно все закаты и рассветы Земли.

Проверьте сами. Сложите пальцы обеих рук решёткой и посмотрите на их тень: в перекрестьях появятся те же круглые зайчики-солнца. Измерьте одно пятно под деревом и высоту просвета: пятно окажется примерно в сто раз меньше — вы только что измерили те самые полградуса. А в ближайшее частное затмение вынесите во двор дуршлаг: каждая дырка напечатает свой серп.

Тот же принцип. По этой геометрии впервые измерили мир: Аристотель по всегда круглой тени Земли на Луне заключил, что Земля — шар, а Аристарх по ширине той же тени нашёл, что Луна примерно втрое меньше Земли (современное значение — в 3,7 раза). Свет, преграда, экран: схема затмения каждый день повторяется в фотокамере, солнечных часах и вашем глазу.

Дополнение редакции. Этот уровень написан по двум предыдущим и эксперт (А.В. Ребриков) его не проверял. Проверенный текст — во вкладках «Кратко» и «Как это работает».

На чём стоит весь расчёт. Предположения ровно три, и все три — приближения:

1. Свет идёт по прямой, а тела считаются шарами с резким краем.
2. Солнце — диск постоянного углового размера в полградуса.
3. Атмосферы нет.

Дальше нужна только геометрия подобных треугольников. Ошибки каждого допущения разбираются ниже — и именно они дают всё, что не сводится к чистой тени.

Сколько это длится. Предельные значения посчитаны на тысячи лет вперёд. Полоса полной тени бывает шириной до 267 км, полная фаза солнечного затмения — до 7 минут 29 секунд; и то и другое приходится на затмение 16 июля 2186 года, крайний случай за одиннадцать тысячелетий¹. Полная фаза лунного затмения длится до 106 минут — в четырнадцать раз дольше, ровно потому, что земная тень в два с половиной раза шире Луны.

Почему затмение не каждый месяц. Лунная орбита наклонена к плоскости земной примерно на 5,15°. В большинстве новолуний Луна проходит выше или ниже Солнца, в большинстве полнолуний — мимо земной тени. Три тела встают в линию только вблизи узлов орбиты, и такие окна открываются дважды в год.

Есть и период повторения — сарос. Он держится на том, что три разных лунных месяца почти точно укладываются в один и тот же промежуток:

$$223\,M_{\text{син}}=6585{,}32\ \text{сут},\quad 242\,M_{\text{драк}}=6585{,}36\ \text{сут},\quad 239\,M_{\text{аном}}=6585{,}54\ \text{сут}$$

модель

Иначе говоря, за 6585 с третью суток — 18 лет 11 дней и 8 часов — повторяется и фаза Луны, и её положение относительно узлов, и расстояние до Земли. Значит, повторяется и затмение. Лишняя треть суток разворачивает Землю на треть оборота, поэтому следующее затмение той же серии видно на 120° западнее.

Границы этого рассуждения. Чистая геометрия описывает не всё.

• Тень Земли больше геометрической. Атмосфера добавляет к эффективному диаметру планеты около 2 %, и без этой поправки моменты входа Луны в тень не сходятся с наблюдением².
• Край Луны неровный. В последние секунды перед полной фазой солнечный свет пробивается через лунные долины отдельными точками — «чётки Бейли». Модель с резким краем этого не описывает.
• Полутень не учтена вовсе. Там, где закрыт лишь край солнечного диска, никакого затмения глазом не заметить: света убывает на проценты, а зрачок подстраивается.
• Правило «один к ста семи» — средняя величина. Угловой размер Солнца за год меняется от 31′28″ до 32′32″, лунного диска — от 29,4′ до 33,5′. Именно на этой разнице и держится деление затмений на полные и кольцеобразные.

О чём спорят. Насколько именно атмосфера расширяет земную тень, единого мнения нет до сих пор. Данжон предложил увеличивать диаметр Земли на 1/85, то есть на 1,18 %; из покрытий лунных кратеров во время затмения июля 1982 года выходит 2,1 %, а через полгода на похожем событии — 1,7 %. Расхождения от затмения к затмению воспроизводятся, но объяснения им пока нет².

Открытый вопрос. Записи древних затмений — единственный способ узнать, как менялась скорость вращения Земли за три тысячи лет. Из них выходит, что средние солнечные сутки удлиняются на 1,8 мс за век. А приливное торможение Луной должно давать 2,3 мс за век. Разницу списывают на перераспределение массы планеты после схода ледников, но точный баланс не сведён³.